Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt erweitern wir den Begriff des Grenzwerts von Folgen zum Begriff des Grenzwerts von Funktionen. Damit erhalten wir einerseits ein Hilfsmittel zur feinen Untersuchung des Verhaltens von Funktionsgraphen in der Nähe ausgewählter Punkte, andererseits sind Grenzwerte von Funktionen die Grundlage des zentralen Themas der Analysis, der Differentiation (Kap. 7). Für die Herleitung von Ableitungsformeln werden einige elementare Grenzwerte benötigt, wie etwa Grenzwerte trigonometrischer Funktionen. Die Eigenschaft der Stetigkeit einer Funktion hat weit reichende Konsequenzen, wie etwa den Zwischenwertsatz, wonach eine stetige Funktion, die auf einem Intervall das Vorzeichen wechselt, eine Nullstelle besitzt. Dieser Satz erlaubt nicht nur die Lösbarkeit von Gleichungen zu zeigen, sondern liefert auch numerische Verfahren zur näherungsweisen Berechnung der Lösungen. Vertiefende Untersuchungen zur Stetigkeit finden sich im Anhang C.