Abelsche Funktionen

Zusammenfassung

So wie die Theorie der elliptischen Integrale in natürlicher Weise zur Theorie der elliptischen Funktionen führt, so führt die Theorie der allgemeinen algebraischen Integrale über die Theorie der kompakten riemann’schen Flächen zur Theorie der abelschen Funktionen. Dies sind meromorphe Funktionen auf einem höherdimensionalen komplexen Torus. Der Fall n > 1 gestaltet sich allerdings weit schwieriger als der Fall der elliptischen Funktionen (n = 1). Ein Grund dafür ist, dass der weierstrass’sche Ansatz über die ℘-Funktion im Falle n > 1 nicht funktioniert. Dies liegt daran, dass Nullstellen und Pole meromorpher Funktionen mehrerer Veränderlicher nicht mehr diskret sind und somit die Theorie der mittag-leffler’schen Partialbruchreihen und weierstrassprodukte nicht mehr funktioniert. In [FB], Kapitel V, §6 haben wir kurz einen anderen Zugang zur Theorie der elliptischen Funktionen erwähnt, in dem anstelle der weierstrass’schen σ-Funktion die jacobi’sche Thetafunktion für den Beweis des abelschen Theorems verwendet wurde. Diesen Faden werden wir hier wieder aufgreifen. Viele der Ideen dieses Kapitels stammen aus igusa’s fundamentalem Buch [Ig4].