Potenzreihen

Auszug

Im vorangehenden Kapitel hatten wir die Funktionen 1/(1 + x), ln(1 + x), arctan x, sin x und cos x jeweils in eine Potenzreihe entwickelt:

$$ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots } \left( {\left| x \right| < r} \right), $$

Solche Entwicklungen haben — falls existent — zwei komplementäre Aspekte:

• Für ein gegebenes f will man die Entwicklungskoeffizienten (a_k) berechnen. Die daraus aufgebaute Potenzreihe wird dann beispielsweise zur Approximation der Funktion f herangezogen.

• Für eine gegebene Koeffizientenfolge (a_k) möchte man die erzeugende Funktion f finden. Aus den analytischen Eigenschaften von f lassen sich beispielsweise das asymptotische Verhalten von a_k für k → ∞ ermitteln. Aus den funktionalen Beziehungen von f lassen sich oft Rekursionsformeln oder gar geschlossene Ausdrücke für a_k bestimmen.

Beide Aspekte sind für Informatiker interessant: Der erste ist wichtig für die Numerik, der zweite für die Kombinatorik. Ich widme daher beiden einen eigenen Abschnitt dieser Vorlesung.