Hamilton- Jacobi-Theorie

Zusammenfassung

Ich komme nun schließlich zu einer Form, in welcher das System der dynamischen Differentialgleichungen dargestellt werden kann, die das ganze Problem auf ein anderes Gebiet versetzt. Ich schicke hier folgende allgemeine Grundlagen voraus. Die Aufgaben der Variationsrechnung haben zu einer Betrachtung des Größten und Kleinsten geführt, wofür verlangt wird, daß die Variation eines Integrals zwischen bestimmten Grenzen verschwindet. Hierzu ist eins Haupt- und erstes Erforderniß, daß wenn man unter dem Integralzeichen variirt und das Integral so transformirt, daß die Variationen nicht mehr auf einander mittelst Integrationen zurückgeführt werden können, so daß man unter dem Integralzeichen ein lineäres Aggregat von ganz willkürlichen Functionen erhält, nämlich ein Aggregat von Variationen, oder von solchen Functionen, die nur in ihren Grenzwerthen gegeben sind, oder deren Genzwerthe allein gewissen Bedingungen unterworfen sind, während die Zwischenwerthe der Functionen aus der Bedingung der Continuität folgen, daß ein solches Integral also niemals verschwinden kann, oder daß sich auch nur über seinen Werth irgend Etwas aussagen läßt, wenn nicht einzeln die Ausdrücke, die in die ganz willkürlichen Functionen multiplicirt sind, verschwinden. Dieß geschieht nun mittelst gewisser Differentialgleichungen, die erfüllt werden müssen, welche ich der Kürze wegen die isoperimetrischen Differentialgleichungen zu nennen pflege, wegen einer besondern Gattung solcher Probleme, die man isoperimetrische nennt, weil darin nicht unter allen Curven, sondern nur unter allen, die einen gewissen Umfang haben, diejenige gesucht wird, die ein Maximum oder Minimum als Eigenschaft hat. Die Integration dieser isoperimetrischen Differentialgleichungen führt eine gewisse Anzahl willkürlicher Constanten mit sich, man kann dann alle Variabeln durch eine und die willkürlichen Constanten ausdrücken, oder die Integration sich wenigstens ausgeführt denken, so daß man eine Function von einer Variabeln und den willkürlichen Constanten hat, und dann die Grenzen dafür, die entweder gegeben sind oder denen man wenigstens constante Werthe zu Grunde liegend denken kann, zwischen denen vielleicht noch gewisse Bedingungen erfüllt werden müssen.