Vorkonditionierte Iterationsverfahren

Zusammenfassung

Die in Kapitel 8 beschriebenen Näherungsmethoden für Variationsprobleme führen auf großdimensionierte lineare Gleichungssysteme. Im Fall eines elliptischen Variationsproblems ist die Systemmatrix symmetrisch und positiv définit, so daß das Verfahren der konjugierten Gradienten zur Lösung des linearen Gleichungssystems angewendet werden kann. Im Gegensatz dazu führt die Diskretisierung von Sattelpunktproblemen auf block-schiefsymmetrische und positiv definite, bzw. symmetrische und indefinite Matrizen. Durch eine geeignete Transformation kann dieses Gleichungssystem auf ein symmetrisches und positiv definites System zurückgeführt werden, so daß wiederum das konjugierte Gradientenverfahren angewendet werden kann. Für effiziente Lösungsverfahren, deren Konvergenzverhalten möglichst unabhängig von den Diskretisierungsparametern ist, müssen auch geeignete Vorkonditionierungstechniken eingesetzt werden. Hierfür soll ein allgemeiner Zugang beschrieben und analysiert werden. Zur Theorie allgemeiner Iterationsverfahren zur effizienten Lösung linearer Gleichungssysteme sei hier auf [2, 6, 39] verwiesen.