Abstract
The aim of this paper is to show some typical mechanisms in the transmission of scientific knowledge through the study of some examples. We will start by considering some ancient examples concerning Democritus, Heron, Galileo and the history of the theory of tides. Then we will mainly focus on the works of the Italian scientist Gabrio Piola (1794–1850). In particular: 1. we show clear similarities between Noll’s postulation of mechanics and the ‘ancient’ presentation by Piola of the ideas needed to found Analytical Continuum Mechanics; 2. we prove that non-local and higher gradient continuum mechanics were conceived (and clearly formulated) already in Piola’s works; 3. we explain the reasons of the unfortunate circumstances which caused the (temporary) erasure of the memory of many among Piola’s contributions to mechanical sciences. Moreover, we discuss how the theory which has recently been called peridynamics, i.e. a mechanical theory which assumes that the force applied on a material particle of a continuum depends on the deformation state of a neighbourhood of the particle, was first formulated in Piola’s works. In this way we argue that in the passage from one a cultural tradition to another the content of scientific texts may often be lost, and it is possible to find more recent sources which are scientifically more primitive than some more ancient ones.
“Pluralitas non est ponenda sine necessitate”
Plurality is not to be posited without necessity
(Duns Scotus)
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Notes
- 1.
Un’altra cosa, prima che più oltre si proceda, bisogna che sia considerata; e questa è intorno alle distanze, nelle quali i gravi vengono appesi: per ciò che molto importa il sapere come s’intendano distanze eguali e diseguali, ed in somma in qual maniera devono misurarsi. [...] E finalmente si deve aver avvertenza di misurare le distanze con linee, che ad angoli retti caschino sopra quelle nelle quali i gravi stanno pendenti, e si moveriano quando liberamente scendessero.
- 2.
Per fare descendere il peso B, ogni minima gravità accresciutagli è bastante, però, non tenendo noi conto di questo insensibile, non faremo differenza dal potere un peso sostenere un altro al poterlo movere.
- 3.
La forza per muover il peso basta che insensibilmente superi quella che lo sostiene.
- 4.
Dal che possiamo prendere, come per assioma indubitato, questa conclusione: che i corpi gravi, rimossi tutti l’impedimenti esterni ed adventizii, possono esser mossi nel piano dell’orizonte da qualunque minima forza.
- 5.
Ma che ne’ corpi esterni, per eccitare in noi i sapori, gli odori e i suoni, si richiegga altro che grandezze, figure, moltitudini e movimenti tardi o veloci, io non lo credo; e stimo che, tolti via gli orecchi le lingue e i nasi, restino bene le figure, i numeri e i moti, ma non già gli odori né i sapori né i suoni, li quali fuor dell’animal vivente non credo che sieno altro che nomi.
- 6.
- 7.
See Aristotle’s Mechanics 3, 850 a-b as translated on p. 431 by Thomas (1939).
- 8.
La certitude des Mathématiques est un avantage que ces Sciences doivent principalement à la simplicité de leur objet. [...] les notions les plus abstraites, cellesque le commun des hommesregarde comme les plus inaccessibles, sontsouventcelles qui portent avec elles une plus grande lumiere: [...] pour traiter suivant la meilleure Méthode possible [...] quelque Science que cepuisse être il est nécessaire [...] d’envisager, de la maniere la plus abstraite et la plus simple qu’il se puisse, l’objet particulier de cette Science; de ne rien supposer, ne rien admettre dans cet objet, que les propriétés que la Science même qu’on traite y suppose. Delà résultent deux avantages: les principes reçoivent toute la clarté dont ils sont susceptibles: ils se trouvent d’ailleurs réduits au plus petit nombre possible [...] puisque l’objet d’une Science étant nécessairement déterminé, les principes en sont d’autant plus féconds, qu’ils sont en plus petit nombre.
- 9.
La Méchanique surtout, est celle qu’il paroit qu’on a négligée le plus à cet égard: aussi la plûpart de ses principes, ou obscurs par eux-mêmes, ou énoncés et démontrés d’une maniere obscure, ont-ils donné lieu à plusieurs questions épineuses. [...] Je me suisproposé [...] de reculer les limites de la Méchanique et d’en applanir l’abord [...] non seulement de déduire les principes de la Méchanique des notions les plus claires, mais de les appliquer aussi à de nouveaux usages; de faire voir tout à la fois, et l’inutilité de plusieurs principes qu’on avoit employés jusqu’ici dans la Méchanique et l’avantage qu’on peut tirer de la combinaison des autres pour le progrès de cette Science; en un mot, d’étendre les principes en les réduisant.
- 10.
The complete original passage reads indeed:
PREFACE
A l’égard des démonstrations de ces Principes en eux-mêmes, le plan que j’ai suivi pour leur donner toute la clarté & la simplicité dont elles m’ont paru susceptibles, a été de les déduire toujours de la considération seule du Mouvement, envisagé de la maniére la plus simple & la plus claire. Tout ce que nous voyons bien distinctement dans le Mouvement d’un Corps, c’est qu’il parcourt un certain espace, & qu’il employe un certain tems à le parcourir. C’est donc de cette feule idée qu’on doit tirer tous les Principes de la Méchanique, quand on veut les démonstrer d’une maniére nette & précise ; ainsi on ne fera point surpris qu’en conséquence de cette réfléxion, j’ai, pour ainsi dire, détourné la vûe de dessus les causes motrices, pour n’envisager uniquement que le Mouvement qu’elles produisent; que j’aie entiérement proscrit les forces inhérentes au Corps en Mouvement, être obscurs & Métaphysiques, qui ne font capables que de répandre les ténèbres sur une Science claire par elle-même. [...]
Au reste, comme cette feconde Partie est destinée principalement à ceux, qui déja instruits du calcul différentiel & intégral, le seront rendus familiers les Principes établis dans la premiére, ou seront déja exercés à la solution des Problêmes connus & ordinaires de la Méchanique; je dois avertir que pour éviter les circonlocutions, je me suis souvent servi du terme obscur de force, & de quelques autres qu’on employe communément quand on traite du Mouvement des Corps; mais je n’ai jamais prétendu attacher à ces termes d’autres idées que celles qui résultent des Principes que j’ai établis, soit dans cette Préface, soit dans la premiére Partie de ce Traité.
- 11.
It is interesting that Germain (see e.g. Germain 1973b ) seems to share the same position as Lagrange in a very similar nominalistic issue.
- 12.
‘Nonstandard’ is actually the word used by Gurtin himself for this form of the Principle.
- 13.
On a donc en général pour l’équilibre d’un nombre quelconque de puissances P, Q, R, & c , dirigées suivant les lignes p, q, r, & c & appliquées à un systême quelconque de corps ou points disposés entr’eux d’une maniere quelconque, une équation de cette forme,
$$ P\mathrm {d}p+Q\mathrm {d}q+R\mathrm {d}r+ \mathrm { \& } c=0. $$C’est la formule générale de l’équilibre d’un systême quelconque de puissances.
Nous nommerons chaque terme de cette formule, tel que \(P\mathrm {d}p\), le moment de la force P, en prenant le mot de moment dans le sens que Galilée lui a donné, c’est-à-dire, pour le produit de la force par la vitesse virtuelle. De sorte que la formule générale de l’équilibre consistera dans l’égalité à zero, de la somme des moments de toutes les forces.
- 14.
From p. 16:
3. Pour faire usage de cette formule, la difficulté se réduira à déterminer, conformément à la nature du systême donné, les valeurs des différentielles \(\mathrm {d}p, \mathrm {dq}, \mathrm {d}r,\) & c . On considérera donc le systême dans deux positions différentes, & infiniment voisines, & on cherchera les expressions les plus générales dont il s’agit, en introduisant dans ces expressions autant de quantités déterminées, qu’il y aura d’élémens arbitraires dans la variation de position du systême. On substituera en suite ces expressions de \(\mathrm {d}p, \mathrm {d}q, \mathrm {d}r,\) & c., dans l’équation proposée, & il faudra que cette équation ait lieu, indépendamment de toutes les indéterminées, afin que l’équilibre du systême subsiste en général & dans tous les sens. On égalera donc séparément à 0, la somme des termes affectés de chacune des mêmes indéterminées; & l’on aura, par ce moyen, autant d’équations particulieres, qu’il y aura de ces indéterminées; or il n’est pas difficile de se convaincre que leur nombre doit toujours être égal à celui des quantités inconnues dans la position du systême; donc on aura par cette méthode, autant d’équations qu’il en faudra pour déterminer l’état d’équilibre du systême.
- 15.
Nous allons considérer maintenant les maxima & minima qui peuvent avoir lieu dans l’équilibre; & pour cela nous reprendrons la formule générale.
$$ P\mathrm {d}q+Q\mathrm {d}q+R\mathrm {d}r+ \mathrm { \& } c,=0, $$de l’équilibre entre les forces P, Q, R, & c, dirigées suivant les lignes p, q, r, & c . (Sect. 2, art. 2).
On peut supposer que ces forces soient exprimées de maniere que la quantité \(Pdq+Qdq+Rdr+\) & c, soit une différentielle exacte d’une fonction de p, q, r, & c, la quelle soit représentée par \(\phi \) , ensorte que l’on ait
$$ \mathrm {d}\phi =P\mathrm {d}q+Q\mathrm {d}q+R\mathrm {d}r+\mathrm { \& }c. $$Alors on aura pour l’équilibre cette équation \(d\phi =0\) , laquelle fait voir que le systême doit être disposé de maniere que la fonction \(\phi \) y soit généralement parlant un maximum ou un minimum.
Je dis généralement parlant; car on fait que l’égalité d’une différentielle à zéro, n’indique pas toujours un maximum ou un minimum, comme on le voit par la théorie des courbes.
La supposition précédente a lieu en général lorsque les forces P, Q, R, & c , tendent réellement ou à des points fixes ou à des corps du même systême, & sont proportionnelles à des fonctions quelconques des distances (Sect. 2, art. 4); ce qui est proprement le cas de la nature.
Ainsi dans cette hypothèse de forces le systême sera en équilibre lorsque la fonction \(\phi \) sera un maximum ou un minimum; c’est en quoi consiste le principe que M. de Maupertuis avoit proposé sous le nom de loi de repos.
- 16.
From p. 52: 11. Je remarque ensuite qu’au lieu de considérer la masse donnée comme un assemblage d’une infinité de points contigus, il faudra, suivant l’esprit du calcul infinitésimal, la considérer plutôt comme composée d’élémens infiniment petits, qui soient du même ordre de dimension que la masse entiere; qu’ainsi pour avoir les forces qui animent chacun de ces élémens, il faudra multiplier par ces mêmes élémens, les forces P, Q, R, & c., qu’on regardera comme analogues à celles qui proviennent de l’action de la gravité. 12. Si donc on nomme m la masse totale, et \(\mathrm {d}m\) un de ces élémens quelconque, on aura \(P\mathrm {d}m, Q\mathrm {d}m, R\mathrm {d}m,\) & c., pour les forces qui tirent l’élément \(\mathrm {d}m\) , suivant les directions des lignes p, q, r, & c . Donc multipliant respectivement ces forces par les variations \(\delta p, \delta q, \delta r,\) & c., on aura leurs momens, dont la somme pour chaque élément dm, sera représentée par la formule \((P\delta p + Q\delta q + R\delta r +\) & \(c.)\mathrm {d}m\) ; & pour avoir la somme des momens de toutes les forces du systême, il n’y aura qu’à prendre l’intégrale de cette formule par rapport à toute la masse donnée. Nous dénoterons ces intégrales totales, c’est-à-dire, relatives à l’étendue de toute la masse, par la caractéristique majuscule S, en conservant la caractéristique ordinaire \(\int \limits \) pour désigner les intégrales partielles ou indéfinies.
- 17.
From pp. 55–57:
Or les différentielle \(\mathrm {d}\delta x, \mathrm {d}\delta y, \mathrm {d}\delta z, \mathrm {d}^{2}\delta x,\) & c, qui se trouvent sous le signe S , peuvent être éliminées par l’opération connue des intégrations par parties. Car en général
\(\int \limits \varOmega \mathrm {d}\delta x=\varOmega \delta x-\int \limits \delta x\mathrm {d}\varOmega ,\int \limits \varOmega \mathrm {d}^{2}\delta x=\varOmega \mathrm {d}\delta x-\mathrm {d}\varOmega \delta x+\int \limits \delta x\mathrm {d}^{2}\varOmega ,\) & ainsi des autres, ou il faut observer que les quantités hors du signe
se rapportent naturellement aux derniers points des intégrales, mais que pour rendre ces intégrales complettes, il faut nécessairement en retrancher les valeurs des même quantité hors du signe, lesquelles répondent aux premiers points des intégrales, afin que tout s’évanouisse dans ce point; ce qui est évident par la théorie des intégrations.
Ainsi en marquant par un trait les quantités qui se rapportent au commencement des intégrales totales désignées par
, & par deux traits celles qui se rapportent à la fin de ces intégrales, on aura les réductions suivantes,
$$ \mathrm { \& }c. $$lesquelles serviront à faire disparoître toutes les différentielles des variations qui pourront se trouver sous le signe
. Ces réductions constituent le second principe fondamental du calcul des variations.
De cette maniere donc l’équation générale de l’équilibre se réduira à la forme suivant,
dans laquelle \(\varPi ,\varSigma ,\varPsi \) seront des fonctions de x, y, z, & de leurs différentielles,& \(\varDelta \) contiendra les termes affectés des variations \(\delta x^{'},\delta y^{'},\delta z^{'},\delta x^{''},\delta y^{''},\) & c, & de leurs différentielles.
Donc pour que cette équation ait lieu, indépendamment des variations des différentes cordonnées, il faudra que l’on ait, I°. \(\varPi ,\varSigma ,\varPsi ,\) nuls dans toute l’étendue de l’intégrale
, c’est-à-dire, dans chaque point de la masse, 2°. chaque terme de \(\varDelta \) aussi égal à zéro]. - 18.
From p. 158:
La Dynamique est la Science des forces accélératrices ou retardatrices, & des mouvemens variés qu’elles peuvent produire. Cette Science est due entiérement aux Modernes, & Galilée est celui qui en a jetté les primiers fondemens.
- 19.
From p. 179:
Le traité de Dynamique de M. d’Alembert qui parut en 1743, mit fin à ces especes de défis, en offrant une méthode directe & générale pour résoudre, ou du moins pour mettre en équations tous les problêmes de Dynamique que l’on peut imaginer. Cette méthode réduit toutes les loix du mouvement des corps à celles de leur équilibre, et ramene ainsi la Dynamique à la Statique.
- 20.
Or la formule générale de l’équilibre consiste en ce que la somme des momens de toutes les forces du systême doit être nulle (Part. I, Sect. 2, art. 2); donc on aura la formule cherchée en égalant à zéro la somme de toutes les quantités
$$ m\left( \frac{\mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d}t^{2}}\delta x+\frac{\mathrm {d}^{2}y}{\mathrm {d}t^{2}}\delta y+\frac{\mathrm {d}^{2}z}{\mathrm {d}t^{2}}\delta z\right) +m\left( P\delta p+Q\delta q+R\delta r+\mathrm { \& }c\right) , $$relatives à chacun des corps du systême proposé.
7. Donc si on dénote cette somme par la ligne intégral
, qui doit embrasser tous les corps du systême, on aura
pour la formule générale du mouvement d’un systême quelconque de corps, regardés comme des points, & animés par des forces accélératrices quelconques P, Q, R, & c.
- 21.
In the opinion of the authors, Lebedev et al. (2010) is a very good technical reference on the subject for the inexperienced reader.
- 22.
See Piola (1833).
- 23.
Let us recall that Archimedes, in the treatise On Floating Bodies (in which, among other things, he demonstrates the spherical shape of the ocean and determines the conditions for the stability of the equilibrium for a floating segment of a paraboloid of revolution), bases his hydrostatics on a postulate concerning the interactions between any given contiguous portions of fluid.
- 24.
The authors thank here Prof. Victor Eremeyev for his help in translating and interpreting the German text.
- 25.
Remark that Hellinger still considers a Lagrangian version of the name for the Principle: The Principle of Virtual Displacements, which is closer to the Lagrangian name, i.e. Principle of Virtual Velocities.
- 26.
- 27.
We take the opportunity to recall the enormous importance of Variational Methods for today science in general (much beyond purely mechanical universe), first of all for rich and multidirectional theoretical developments (among those closer to the research lines of the authors, the reader can see e.g. Courant (1943), Schröder et al. (2005), Milton et al. (2009), dell’Isola and Seppecher (1997), Placidi (2015), Piccardo et al. (2014), Steigmann and Ogden (1999, 1997)), and also (a point which is sometimes missed by theoreticians and historians) for the birth of the most powerful tools for computation today available in continuum mechanics, which are based on the application of Finite Element Method (FEM); these method, indeed, could only see the light as a consequence of the development of rigorous variational theories. Powerful variants of FEM are now available to attack a large class of problems (see e.g. Cuomo et al. 2014; Hughes 2012, for some recent results which we found very interesting), and they are considered by now simply indispensable in practical computation. See below for further considerations on this point.
- 28.
See the data at: http://www.lib.utexas.edu/taro/utcah/00308/cah-00308.html.
- 29.
We also remark that this kind of approach, starting from a discrete system with a very large number of degrees of freedom and then proceeding by means of heuristic homogenization, is today so vital that entire chapters in modern theoretical and computational mechanics closely follow it, as for instance molecular dynamics and granular mechanics (see e.g. Misra and Chang 1993; Misra and Singh 2013; Misra and Yang 2010).
- 30.
We remark that, in the original work, when passing from the discrete to the continuous formulation, Piola replaces the elementary mass of the molecules with elementary volumes. In so doing he changes implicitly the dimension of K. In dell’Isola et al. (2015) this point was left unmentioned, while here we will introduce some new symbol (specifically \({\bar{\varLambda }}\)) in order to better highlight it and to use a form which the modern reader is more familiar with.
- 31.
We remark that (luckily!) the habit of inventing new names (although sometimes the related concepts are not so novel) is not lost in modern science (see Russo 2004, for a discussion of the importance of this attitude in science) and that the tradition of using Greek roots for inventing new names is still alive.
- 32.
The constitutive equations for such tensors must verify the condition of frame invariance. When these tensors are defined in terms of a deformation energy (that is when the Principle of Virtual Work is obtained as the first variation of a Least Action Principle) the objectivity becomes a restriction on such an energy. The generalization of the results in Steigmann (2003) to the Nth gradient continua still needs to be found.
- 33.
Melitta is a word from Greek that indicates both the bee which is capable to produce honey and the mythological figure (nymph) who taught the bees to produce honey.
se rapportent naturellement aux derniers points des intégrales, mais que pour rendre ces intégrales complettes, il faut nécessairement en retrancher les valeurs des même quantité hors du signe, lesquelles répondent aux premiers points des intégrales, afin que tout s’évanouisse dans ce point; ce qui est évident par la théorie des intégrations.
, & par deux traits celles qui se rapportent à la fin de ces intégrales, on aura les réductions suivantes,
. Ces réductions constituent le second principe fondamental du calcul des variations.
, c’est-à-dire, dans chaque point de la masse, 2°. chaque terme de 
, qui doit embrasser tous les corps du systême, on aura
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dell’Isola, F., Della Corte, A., Esposito, R., Russo, L. (2016). Some Cases of Unrecognized Transmission of Scientific Knowledge: From Antiquity to Gabrio Piola’s Peridynamics and Generalized Continuum Theories. In: Altenbach, H., Forest, S. (eds) Generalized Continua as Models for Classical and Advanced Materials. Advanced Structured Materials, vol 42. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-31721-2_5
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