Zusammenfassung
Es seien X ein nichtleerer kompakter metrisierbarer Raum und \(T\colon X\longrightarrow X\) eine stetige Transformation. Dann nennt man (X, T) ein topologisches dynamisches System . Wenn T surjektiv ist, so nennt man das System (X, T) surjektiv . Wenn T bijektiv ist, dann ist auch T −1 stetig, da X kompakt ist. Damit ist T also ein Homöomorphismus und das dynamische System (X, T) heißt invertierbar .
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Notes
- 1.
Eine nichtleere Menge ℱ ⊂ ℘(X) ist ein Semiring, falls ℱ abgeschlossen unter endlicher Schnittbildung ist, für A, B ∈ ℱ das relative Komplement \(A\setminus B\) eine endliche Vereinigung disjunkter Elemente von ℱ ist und es eine Folge (A n ) in ℱ mit \(X=\bigcup _{{n=1}}^{\infty}A_{n}\) gibt.
- 2.
Eine nichtleere Teilmenge ℱ ⊂ ℘(X) ist eine Mengenalgebra, falls ℱ unter Komplement- und endlicher Schnittbildung abgeschlossen ist.
- 3.
- 4.
Andrey Andreyevich Markov (1856–1922) war ein russischer Mathematiker, der auf dem Gebiet der stochastischen Prozesse arbeitete. Er begründete die Theorie der (später nach ihm benannten) Markovketten und Markovprozesse.
- 5.
Die Matrix M ist nilpotent, wenn es ein k ≥ 1 mit M k = 0 gibt.
- 6.
Wenn X eine Menge und B ⊂ X ist, so ist \(1_{B}\colon X\longrightarrow\mathbb{R}\) die Indikatorfunktion
$$\begin{aligned}\displaystyle 1_{B}(x)=\begin{cases}1&\textup{f{\"u}r}\; x\in B,\\ 0&\textup{f{\"u}r}\; x\in X\setminus B.\end{cases}\end{aligned}$$(1.20) - 7.
Wir verwenden die folgende allgemeine Formulierung des Satzes von Stone-Weierstrass (vgl. [15, Theorem 5.7]): Es sei X ein kompakter metrisierbarer Raum und A ⊂ C ( X , ℂ) eine Funktionenalgebra, die die Punkte trennt und die mit jeder Funktion h auch die konjugiert komplexe Funktion \(\bar{h}\) enthält. Dann ist A dicht in C ( X , ℂ) bezüglich der Maximumnorm.
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© 2014 Springer Basel
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Einsiedler, M., Schmidt, K. (2014). Topologische Dynamik. In: Dynamische Systeme. Mathematik Kompakt. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0634-3_1
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0634-3_1
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Publisher Name: Birkhäuser, Basel
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Online ISBN: 978-3-0348-0634-3
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