Zusammenfassung
Wir führen in diesem Kapitel in die Punktmechanik ein und es wird ein Übergang zur Kontinuumsmechanik durchgeführt. In der Kontinuumsmechanik sind alle relevanten physikalischen Größen auf einem Kontinuum erklärt und die mathematische Modellierung physikalischer Phänomene führt zu Erhaltungsgleichungen, die von allen Beobachtern gleich formuliert werden müssen. Daher stellen wir das Prinzip der Objektivität bei Beobachtertransformationen auf.
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Notes
- 1.
Gewichtetes Mittel.
- 2.
Denn:
$$\begin{aligned}\displaystyle\sum _{{i=1}}^{N}\sum _{{\substack{j=1\\ j\neq i}}}^{N}\dot{\mathbf{r}}_{i}\cdot f_{{ij}}&\displaystyle=\sum _{{i=1}}^{N}\sum _{{\substack{j=1\\ j> i}}}^{N}\dot{\mathbf{r}}_{i}\cdot f_{{ij}}+\sum _{{i=1}}^{N}\sum _{{\substack{j=1\\ j<i}}}^{N}\dot{\mathbf{r}}_{i}\cdot f_{{ij}}=\sum _{{i=1}}^{N}\sum _{{\substack{j=1\\ j> i}}}^{N}\dot{\mathbf{r}}_{i}\cdot f_{{ij}}+\sum _{{j=1}}^{N}\sum _{{\substack{i=1\\ i<j}}}^{N}\dot{\mathbf{r}}_{j}\cdot f_{{ji}}\\ \displaystyle&\displaystyle=\sum _{{i=1}}^{N}\sum _{{\substack{j=1\\ j> i}}}^{N}\dot{\mathbf{r}}_{i}\cdot f_{{ij}}-\sum _{{j=1}}^{N}\sum _{{\substack{i=1\\ i<j}}}^{N}\dot{\mathbf{r}}_{j}\cdot f_{{ij}}=\sum _{{\substack{i,j=1\\ j> i}}}^{N}(\dot{\mathbf{r}}_{i}-\dot{\mathbf{r}}_{j})\cdot f_{{ij}}.\end{aligned}$$ - 3.
Denn: u i (t) − u j (t) + (i − j) l = r i (t) − x i − r j (t) + x j + (i − j) l = r i (t) − r j (t).
- 4.
Euler, Leonhard: 1707–1783, Mathematiker. Sehr vielseitig und extrem produktiv – arbeitete auf den Gebieten der Differential- und Intergalrechnung, Algebra, Zahlentheorie, Mechanik und Hydrodynamik, Sozial- und Wirtschaftswissenschaften. In der Hydrodynamik gehen auf ihn die Eulergleichungen zurück, welche die Strömung von reibungsfreien Fluiden beschreiben, als auch die Turbinengleichung.
- 5.
s i g n π = +1 für π gerade Permutation von {1,2,3}, s i g n π = −1 für π ungerade Permutation von {1,2,3}.
- 6.
Reynolds, Osborne: 1842–1912, britischer Physiker. Wesentliche Beiträge in der Strömungsmechanik und zum Wärmetransport zwischen Festkörpern und Flüssigkeiten.
- 7.
\(D_{{x^{*}}}\) ist das totale Differential. Somit ist \(D_{{x^{*}}}\theta^{*}\) eine lineare Abbildung, welche durch einen Zeilenvektor repräsentiert wird. \(\operatorname{\mathbf{grad}}_{{x^{*}}}\theta^{*}\) ist die Darstellung des Differential bezüglich eines Skalarproduktes. Es gilt \((D_{{x^{*}}})^{T}=\operatorname{\mathbf{grad}}_{{x^{*}}}\theta^{*}\).
- 8.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit.
- 9.
Prandtl, Ludwig: 1875–1953, deutscher Physiker. Bedeutende Beiträge zur Strömungsmechanik, entwickelte die Grenzschichttheorie; auf ihn geht Prandtl-Zahl zurück.
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© 2014 Springer Basel
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Hoffmann, KH., Witterstein, G. (2014). Mechanik. In: Mathematische Modellierung. Mathematik Kompakt. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0346-0650-9_3
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0346-0650-9_3
Publisher Name: Birkhäuser, Basel
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Online ISBN: 978-3-0346-0650-9
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