Y Avait-Il une Crise des Fondements des Mathématiques Dans L’Antiquité?

Résumé

Souvent dans l’histoire des mathématiques le problème de ses fondements s’est posé de nouveau et sous de nouveaux aspects. Cela ne veut pas dire que, à une époque donnée, il ait inquiété tous les mathématiciens. Les méthodes du calcul différentiel et intégral tel qu’il fut inventé par Newton et Leibniz ont été appliquées tranquillement quoiqu’on sût qu’il n’était pas bien fondé et malgré les paradoxes que ces méthodes impliquaient. Les paradoxes de l’infini connus depuis longtemps n’étaient jamais considérés comme des menaces sérieuses, mais plutôt comme des plaisanteries à la périphérie des mathématiques. La découverte des géométries non-euclidiennes, négligée d’abord, et thème de discussions ferventes plus tard, n’a jamais créé le climat d’une crise des fondements de la géométrie. En géométrie, on sent cette mentalité de crise plutôt après la découverte de l’insuffisance des fondements de la géométrie projective de von Staudt. En effet, ce problème de la continuité dans la géométrie a inquiété les géomètres jusqu’à la fin du 19^e siècle. Les paradoxes de la théorie des ensembles auraient dû être sentis comme une menace, mais au moment où ils étaient formulés, la théorie des ensembles n’avait pas vraiment pénétré les mathématiques. Je ne sais pas qui a le premier parlé d’une crise des fondements des mathématiques, mais je suis sûr que ce terme a été inventé plus tard, à l’époque où l’on commençait à s’occuper sérieusement des fondements. Et je ne sais pas non plus qui a découvert une telle crise des fondements dans les mathématiques de l’Antiquité. Le petit livre célèbre de Hasse et Scholz de 1928 est un | terminus ante quem pour l’usage de ce terme, mais l’idée même est plus vieille, elle peut être retracée jusqu’à Tannery. A présent, la crise des fondements des mathématiques est considérée comme un fait historique établi sans doute possible, quoique les uns l’associent avec la découverte des grandeurs incommensurables et les autres avec la critique éléatique.

Conférence faite le 18 décembre 1965 pour la Société belge de Logique et de Philosophie des Sciences.