Quelques nombres irrationnels

Abstrait

C’est ce qu’Aristote a conjecturé lorsqu’il a annoncé que le diamètre et la circonférence d’un cercle ne sont pas commensurables. La première preuve de ce résultat fondamental a été donnée par Johann Heinrich Lambert en 1766. La Preuve de notre Grand Livre est due à Ivan Niven, en 1947: une preuve en une page, extrêmement élégante, qui ne requiert que des calculs élémentaires. Son idée est puissante et l’on peut en tirer bien davantage, comme l’ont montré Iwamoto et Koksma:

• π² est irrationnel;

• e^r est irrationnel pour tout rationnel r ≠ 0.