Zahlenfolgen und Grenzwerte

Auszug

Neben den vier Grundrechenarten ist in der Höheren Mathematik der Begriff des Grenzwertes von entscheidender Bedeutung.

In diesem Kapitel wird der Leser eingehend mit dem Begriff Grenzwert im Zusammenhang mit Zahlenfolgen vertraut gemacht. Nach Einführung der Zahlenfolge als spezielle Funktion werden die für das folgende benötigten (und aus Kapitel 3 bekannten) Eigenschaften von Funktionen übertragen und der Grenzwert einer Zahlenfolge zunächst „geometrisch“ über den Umgebungsbegriff, anschließend analytisch mit Hilfe des (ε,n₀-Formalismus formuliert. An zahlreichen Beispielen werden Konvergenz bzw. Divergenz von Zahlenfolgen demonstriert und die Regeln für das Rechnen mit konvergenten Zahlenfolgen zur Berechnung von Grenzwerten herangezogen. Mit Hilfe eines Konvergenzkriteriums wird die Konvergenz von Zahlenfolgen nachgewiesen, insbesondere die Konvergenz der Folge $\left\langle {\left( {1 + \frac{1} {n}} \right)^n } \right\rangle$, deren Grenzwert als Eulersche Zahl e bezeichnet wird. Anschließend wird mit Hilfe dieser Zahlenfolge die e-Funktion und die ln-Funktion als ihre Umkehrfunktion eingeführt und ihre Eigenschaften zusammengestellt.