Extensions of degree $p^4$ of a p-adic field

Abstract

Let K be a p-adic field. Restricting to the case of no intermediate extensions, we obtain formulæ counting the number of (totally and wildly) ramified extensions of degree $p^4$ of K up to K-isomorphism and in particular, we count the number of isomorphism classes of extensions for which the Galois closure has a prescribed Galois group. The principal tool used is a result, proved in Del Corso et al. (On wild extensions of a p-adic field, arXiv:1601.05939v1), which states that there is a one-to-one correspondence between the isomorphism classes of extensions of degree $p^k$ of K having no intermediate extensions and the irreducible H-sub-modules of dimension k of $F^*{/}{F^*}^p$, where F is the composite of certain fixed normal extensions of K and H is its Galois group over K.

Résumé

Soit K un corps p-adique ne contenant aucun sous-corps strict intermédiaire. Nous obtenons des formules donnant le nombre d’extensions (totalement et sauvagement) ramifiées de degré $p^4$ sur K à un K-isomorphisme près. En particulier, nous comptons le nombre de classes d’isomorphisme d’extensions dont le groupe de Galois est un groupe donné. L’outil principal utilisé est un résultat, prouvé en Del Corso et al. (On wild extensions of a p-adic field, arXiv:1601.05939v1), qui affirme qu’il y a une bijection entre les classes d’isomorphisme d’extensions de degré $p^k$ de K ne possédant aucun sous-corps strict intermédiaire et les H-sous-modules intermédiaires de dimension k de $F^*/{F^*}^p$, où F est le composé de certaines extensions normales fixes de K et H son groupe de Galois sur K.