Une solution explicite monodimensionnelle d’un modèle simplifié de couplage stationnaire thermohydraulique–neutronique

Abstract

We study a monodimensional stationary system coupling a simplified thermohydraulic model to a simplified neutronic model based on the diffusion approximation with one energy group. We observe that this non-linear coupled model can be studied under two points of view and we show that solving this model is equivalent to the resolution of a non-linear scalar autonomous ordinary differential equation of order 1. As a consequence, it is possible to obtain an explicit solution without using an iterative coupling algorithm solving successively the thermohydraulics and the neutronics. Moreover, we obtain an analytic solution in a simple case. The explicit results obtained with our analytical solutions confirm the numerical results obtained with the iterative classical thermohydraulics–neutronics algorithm.

Résumé

Nous étudions un système stationnaire monodimensionnel couplant un modèle simplifié de thermohydraulique à un modèle simplifié de neutronique dans l’approximation par la diffusion à un groupe en énergie. Nous montrons que ce modèle de couplage non-linéaire peut être abordé sous deux angles différents et qu’il peut être ramené à la résolution d’une équation différentielle ordinaire non-linéaire scalaire autonome d’ordre 1. Il est ainsi possible d’obtenir une solution explicite sans passer par un algorithme itératif résolvant successivement la thermohydraulique et la neutronique. De plus, nous obtenons une solution analytique dans un cas simple. Les résultats explicites obtenus avec nos solutions analytiques confirment les résultats numériques obtenus avec l’algorithme itératif classique de couplage thermohydraulique–neutronique.

Appendices

Annexe 1 Preuve du Théorème 3.1

En tenant compte de (24)(a), l’équation (24)(b) s’écrit

$$\begin{aligned} h'''(z)+E''(h)h'(z)=0. \end{aligned}$$

En intégrant cette équation, on obtient

$$\begin{aligned} h''(z)+E'(h)=C_1 \end{aligned}$$

(109)

où $C_1$ est une constante d’intégration. En multipliant (109) par $h'$ puis en intégrant à nouveau, on obtient alors¹⁸

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}(h')^2(z)+E(h)=C_1h+C_2 \end{aligned}$$

où $C_2$ est une seconde constante d’intégration. On a par ailleurs $h'(0)=h'(L)=0$, $h(0)=h_e$ et $h(L)=h_s$. Donc $E(h_e)=C_1h_e+C_2$ et $E(h_s)=C_1h_s+C_2$. D’où $C_1=\frac{E(h_s)-E(h_e)}{h_s-h_e}$ et $C_2=\frac{E(h_e)h_s-E(h_s)h_e}{h_s-h_e}$. Ce qui permet d’obtenir

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}(h')^2(z)+E(h)=\frac{E(h_s)}{h_s-h_e}\cdot (h-h_e) \end{aligned}$$

(110)

puisque $E(h_e)=0$ soit encore

$$\begin{aligned} (h')^2(z)=2[V(h_s)-V(h)]\cdot (h-h_e). \end{aligned}$$

(111)

D’où $dz=\frac{dh}{\sqrt{2[V(h_s)-V(h)](h-h_e)}}$ ce qui donne (38) et (40) en intégrant cette équation sur respectivement [0, L] et [0, z]. La fonction h, si elle existe, est donc dans $C^1([0,L])$. La relation (43) s’obtient en dérivant (40) par rapport à z puis en utilisant (24)(a).

Soit maintenant le changement d’inconnue difféomorphe de [0, L] sur $[0,\frac{\pi }{2}]$

$$\begin{aligned} h(z)=h_e+\Delta h\sin ^2f(z) \end{aligned}$$

(112)

où $\Delta h:=h_s-h_e$ et pour lequel $f(0)=0$ et $f(L)=\frac{\pi }{2}$. On a donc

$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} [h(z)-h_e]\times [h_s-h(z)]=(\Delta h)^2 \sin ^2 f(z)\cos ^2 f(z), &{} \text{(a) }\\ h'(z)=2\Delta h \sin f(z)\cos f(z) f'(z). &{} \text{(b) } \end{array} \right. \end{aligned}$$

(113)

On a d’autre part

$$\begin{aligned} V(h_s)-V(h)=(h_s-h)\int _0^1V'[h_s+t(h-h_s)]dt. \end{aligned}$$

(114)

Ces relations injectées dans (111) impliquent

$$\begin{aligned} \begin{array}{rcl} 4(\Delta h)^2\sin ^2 f(z)\cos ^2 f(z) (f'(z))^2 &{}=&{} 2(h(z)-h_e)(h_s-h)\int _0^1V'[h_s+t(h-h_s)]dt\\ &{}=&{} 2(\Delta h)^2 \sin ^2 f(z)\cos ^2 f(z)\int _0^1V'[h_s+t(h-h_s)]dt \end{array} \end{aligned}$$

soit donc

$$\begin{aligned} \forall z\in ]0,L[:\quad 2(f'(z))^2=\int _0^1V'[h_s+t(h-h_s)]dt \end{aligned}$$

qui s’écrit également

$$\begin{aligned} \forall z\in ]0,L[:\quad 2(f'(z))^2=\int _0^1V'[h_e+\Delta h(1-t\cos ^2f(z))]dt. \end{aligned}$$

D’où l’égalité

$$\begin{aligned} \forall z\in ]0,L[:\quad 2f'(z)=\sqrt{2\int _0^1V'[h_e+\Delta h(1-t\cos ^2f(z))]dt}. \end{aligned}$$

(115)

En utilisant $L=\int _0^Ldz=\int _0^{\frac{\pi }{2}}\frac{df}{f'(z(f))}$ et en posant

$$\begin{aligned} J(h):=\sqrt{2}\int _0^{\frac{\pi }{2}}\frac{df}{\sqrt{\displaystyle \int _0^1V'[h_e+(h-h_e)(1-t\cos ^2f)]dt}}, \end{aligned}$$

(116)

on obtient donc

$$\begin{aligned} L=J(h_s), \end{aligned}$$

(117)

ce qui correspond à (39). Enfin, connaissant $h_s$, l’on peut calculer $z\mapsto f(z)$ à partir de la fonction réciproque de $f\mapsto z(f)$ où z(f) est obtenu en utilisant (115) c’est-à-dire

$$\begin{aligned} z(f)=\sqrt{2}\int _0^{f}\frac{df'}{\sqrt{\displaystyle \int _0^1V'[h_e+(h_s-h_e)(1-t\cos ^2f')]dt}}. \end{aligned}$$

(118)

D’où (41) en utilisant (112). La relation (44) s’obtient en utilisant (24)(a) et (113)(b). Enfin, $h\in C^1([0,L])$ et (24)(a) impliquent que $\phi \in C^0([0,L])$. D’où $\phi$, si elle existe, est dans $C^2([0,L])$ en utilisant (24)(b) (puisque $\Sigma _a\in C^0([0,L])$ implique $(\Sigma _a-\nu \Sigma _f)\phi \in C^0([0,L])$).

Annexe 2 Preuve du Théorème 3.3

Les calculs ci-dessous sont faits de manière formelle. En utilisant la même approche que pour obtenir (110), on trouve¹⁹

$$\begin{aligned} (h')^2=\left[ \frac{\Sigma }{D}-2W(h)\right] (h-h_e)(h_s-h) \end{aligned}$$

avec $\Sigma =\frac{\nu \Sigma _f}{k_{eff}}$. D’où $dz=\frac{dh}{\sqrt{\left[ \frac{\Sigma }{D}-2W(h)\right] (h-h_e)(h_s-h)}}$ ce qui donne (65) en intégrant cette équation sur [0, L]. Par ailleurs, en posant $\Delta h:=(h_s-h_e)$ et en utilisant le changement de variable (112) c’est-à-dire

$$\begin{aligned} h(z)=h_e+\Delta h\sin ^2f(z) \end{aligned}$$

(119)

pour lequel $f(0)=0$ et $f(L)=\frac{\pi }{2}$ (et qui existe uniquement si $h(z)\in [h_e,h_s]$) ainsi que les relations (113) (qui demeurent valables), on obtient

$$\begin{aligned} \forall z\in ]0,L[:\quad 4(f'(z))^2=\frac{\Sigma }{D}-2W[h_e+\Delta h \sin ^2f(z)]. \end{aligned}$$

Une condition nécessaire d’existence est donc que $\frac{\Sigma }{D}-2W(h_e+\Delta h \sin ^2f)\ge 0$ pour tout $f\in [0,\frac{\pi }{2}]$, ce qui s’écrit aussi $\Sigma \ge 2D\max \limits _{h\in [h_e,h_s]}W(h)$ soit encore $k_{eff}\le k_{\infty }$ où $k_{\infty }$ est défini avec (64). Et on en déduit que

$$\begin{aligned} \forall z\in ]0,L[:\quad \frac{2f'(z)}{\sqrt{\frac{\Sigma }{D}-2W[h_e+\Delta h \sin ^2f(z)]}}=1 \end{aligned}$$

(120)

ou encore

$$\begin{aligned} \frac{2df}{\sqrt{\frac{\Sigma }{D}-2W[h_e+\Delta h \sin ^2f]}}=dz \end{aligned}$$

ce qui donne (66) en intégrant cette équation sur $[0,\frac{\pi }{2}]$. La fonction W(h) étant positive sur $[h_e,h_s]$ (cf. (61)), on a aussi $k_{eff}\ge 0$. En outre, comme $L\not =0$, on a de plus $k_{eff}\not =0$. On a donc finalement $k_{eff}\in ]0,k_{\infty }]$.

Soit maintenant z(f) définie avec (68). La fonction z(f) est définie sur $[0,\frac{\pi }{2}]$, et vérifie $z(0)=0$ et $z(\frac{\pi }{2})=L$. Sachant que h(z) est donnée avec (119), on obtient

$$\begin{aligned} \phi _0(z)=\Delta h \sin [2f(z)]f'(z)=\Delta h \sin [2f(z)]\sqrt{\frac{\Sigma }{D}-2W[h_e+\Delta h \sin ^2f(z)]} \end{aligned}$$

en utilisant (28)(a) et (120). D’où (67). La fonction h, si elle existe, est donc dans $C^1([0,L])$. Puis, en utilisant le fait que $k_{eff}\not =0$, $h\in C^1([0,L])$ et (28), on obtient que la fonction $\phi _0$, si elle existe, est dans $C^2([0,L])$ en appliquant le raisonnement utilisé à la fin du Théorème 3.1 pour montrer que $\phi \in C^2([0,L])$ (cf. Annexe 1).

Annexe 3 Résultat clé utilisé dans les preuves des Théorèmes 3.2 et 3.4

Les Théorèmes 3.2 et 3.4 utilisent le résultat clé suivant:

Lemme 9.1

• 1. On suppose que V(h) satisfait l’Hypothèse 3.1. Alors, l’intégrale

  $$\begin{aligned} J(h_s):=\int _{h_e}^{h_s}\frac{dh}{\sqrt{2[V(h_s)-V(h)](h-h_e)}} \end{aligned}$$

  tend vers $+\infty$ lorsque $h_s$ tend vers $h_*$ par valeurs inférieures, $h_*$ étant le maximum local défini dans l’Hypothèse 3.1.

• 2. L’intégrale

  $$\begin{aligned} I(\Sigma ):=\int _{h_e}^{h_s}\frac{dh}{\sqrt{\left[ \frac{\Sigma }{D}-2W(h)\right] (h-h_e)(h_s-h)}} \end{aligned}$$

  tend vers $+\infty$ lorsque $\Sigma$ tend vers $\Sigma _{\infty }:=2D\max \limits _{h\in [h_e,h_s]}W(h)$ par valeurs supérieures.

Preuve du Lemme 9.1:

Preuve du premier alinéa: Comme $V\in C^2(]h_e,h_{\max }])$ (voir (35)) et que $h_*\in ]h_e,h_{\max }[$ où $h_*$ est l’enthalpie définie dans l’Hypothèse 3.1, on peut appliquer la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre 2 dans un voisinage $[h_*-\alpha , h_*]\subset ]h_e,h_{\max }]$ ($\alpha >0$) à savoir

$$\begin{aligned} V(h)=V(h_*)+\frac{(h-h_*)^2}{2}V^{(2)}[\tilde{h}(h,h_*)] \end{aligned}$$

(121)

où $\tilde{h}(h,h_*)\in [h_*-\alpha ,h_*]$ et $V^{(2)}[\tilde{h}(h,h_*)]\not =0$. D’où

$$\begin{aligned} \forall h\in [h_*-\alpha ,h_*]:\quad V(h_s)-V(h)=V(h_s)-V(h_*)-\frac{(h-h_*)^2}{2}V^{(2)}[\tilde{h}(h,h_*)] \end{aligned}$$

pour tout $h_s\in ]h_e,h_{\max }]$. En outre, V(h) atteint son maximum en $h_*$. Donc, on peut aussi écrire que $\frac{(h-h_*)^2}{2}V^{(2)}[\tilde{h}(h,h_*)]<0$ sur $[h_*-\alpha , h_*]$, ce qui permet d’écrire

$$\begin{aligned} \forall h\in [h_*-\alpha ,h_*]:\quad V(h_s)-V(h)=V(h_s)-V(h_*)+\frac{|h-h_*|^2}{2}|V^{(2)}[\tilde{h}(h,h_*)]|. \end{aligned}$$

(122)

Par ailleurs, la fonction $V^{(2)}$ étant par hypothèse continue dans $]h_e,h_*]$, il existe $m>0$ et $M>0$ tel que

$$\begin{aligned} \forall \tilde{h}\in [h_*-\alpha ,h_*]:\quad m\le \frac{1}{2}|V^{(2)}(\tilde{h})|\le M. \end{aligned}$$

(123)

D’où en particulier

$$\begin{aligned} \forall h\in [h_*-\alpha ,h_*]:\quad V(h_s)-V(h)\le V(h_s)-V(h_*)+M|h-h_*|^2. \end{aligned}$$

(124)

On a par ailleurs

$$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2\Delta h}}\int _{h_s-\alpha /2}^{h_s}\frac{dh}{\sqrt{V(h_s)-V(h)}}\le \int _{h_s-\alpha /2}^{h_s}\frac{dh}{\sqrt{2[V(h_s)-V(h)](h-h_e)}}\le J(h_s) \end{aligned}$$

où $\Delta h:=h_s-h_e$. D’où en utilisant (124)

$$\begin{aligned} \forall h_s\in [h_*-\alpha /2,h_*]:\quad \frac{1}{\sqrt{2\Delta h}}\int _{h_s-\alpha /2}^{h_s}\frac{dh}{\sqrt{V(h_s)-V(h_*)+M|h-h_*|^2}}\le J(h_s). \end{aligned}$$

En effectuant le changement d’inconnue $h=h_*-\sqrt{\frac{V(h_*)-V(h_s)}{M}}\ t$, on obtient donc

$$\begin{aligned} \forall h_s\in [h_*-\alpha /2,h_*]:\quad \frac{1}{\sqrt{2\Delta h}}\sqrt{\frac{1}{M}}\int _{a}^{b}\frac{dt}{\sqrt{t^2-1}}\le J(h_s) \end{aligned}$$

avec $a=\sqrt{\frac{M}{V(h_*)-V(h_s)}}(h_*-h_s)$ et $b=\sqrt{\frac{M}{V(h_*)-V(h_s)}}(h_*-h_s+\alpha /2)$. On a par ailleurs

$$\begin{aligned} a=\sqrt{\frac{2M}{|V^{(2)}[\tilde{h}(h_s,h_*)]|}}\le \gamma \end{aligned}$$

avec $1\le \gamma :=\sqrt{\frac{M}{m}}$ en utilisant (123). Et en utilisant (124), on obtient par ailleurs

$$\begin{aligned} V(h_*)-V(h_s)\le M|h_s-h_*|^2 \end{aligned}$$

ce qui implique $b\ge 1+\frac{\alpha /2}{h_*-h_s}$. On peut donc écrire que

$$\begin{aligned} \forall h_s\in [h_*-\alpha /2,h_*]:\quad \frac{1}{\sqrt{2\Delta h}}\sqrt{\frac{1}{M}}\int _{\gamma }^{1+\frac{\alpha /2}{h_*-h_s}}\frac{dt}{\sqrt{t^2-1}}\le J(h_s). \end{aligned}$$

On obtient alors le résultat en notant que l’intégrale $\int _{\gamma }^{+\infty }\frac{dt}{\sqrt{t^2-1}}$ diverge.

Preuve du deuxième alinéa: On a démontré que $W\in C^1([h_e,h_s])\cap C^2(]h_e,h_s[)$ (cf. (60)). W admet donc un maximum sur $[h_e,h_s]$. Deux cas se présentent:

• ce maximum est atteint en $h_*\in ]h_e,h_s[$, et éventuellement en $h_s$ et/ou en $h_e$ ;

• ce maximum est atteint en $h_*\in \{h_e,h_s\}$ uniquement.

Définissons $\Sigma _{\infty }$ tel que $W(h_*)=\frac{\Sigma _{\infty }}{2D}$. Dans le premier cas, il existe $\alpha >0$ tel que $W(h_*)$ soit le maximum local sur $[h_*-\alpha , h_*+\alpha ]\subset \ ]h_e,h_s[$ et on a $W'(h_*)=0$. Comme $W\in C^2([h_*-\alpha , h_*+\alpha ])$, on peut appliquer la formule de Taylor–Lagrange à l’ordre 2 ce qui donne

$$\begin{aligned} \forall h\in [h_*-\alpha , h_*+\alpha ]:\quad W(h)=W(h_*)+\frac{1}{2} (h-h_*)^2W''[{\tilde{h}}(h,h_*)] \end{aligned}$$

où ${\tilde{h}}(h,h_*)\in [h_*-\alpha , h_*+\alpha ]$. En outre, $W(h_*)$ étant un maximum de W, on a $\frac{1}{2} (h-h_*)^2W''[{\tilde{h}}(h,h_*)]\le 0$ soit donc

$$\begin{aligned} \forall h\in [h_*-\alpha , h_*+\alpha ] : W(h)=W(h_*)-\frac{1}{2} (h-h_*)^2|W''[{\tilde{h}}(h,h_*)]|. \end{aligned}$$

Et comme $W''$ est continue sur $[h_*-\alpha , h_*+\alpha ]$, on peut affirmer qu’il existe $M>0$ tel que $|W''[{\tilde{h}}(h,h_*)]|\le M$ ce qui implique

$$\begin{aligned} \forall h\in [h_*-\alpha , h_*+\alpha ]:\quad W(h)\ge W(h_*)-\frac{1}{2} M(h-h_*)^2. \end{aligned}$$

Donc, quand $\frac{\Sigma }{2D}-W(h_*)>0$ c’est-à-dire pour tout $\Sigma \ge \Sigma _{\infty }$, on a

$$\begin{aligned} \forall h\in [h_*-\alpha , h_*+\alpha ]:\quad 0\le \frac{\Sigma }{D}-2W(h)\le \frac{\Sigma -\Sigma _{\infty }}{D}+M(h-h_*)^2 \end{aligned}$$

On trouve ainsi

$$\begin{aligned} I(\Sigma )\ge \frac{1}{(h_s-h_e)^2}\int _{h_*-\alpha }^{h_*+\alpha }\frac{dh}{\sqrt{\frac{\Sigma -\Sigma _{\infty }}{D}+M(h-h_*)^2}}. \end{aligned}$$

D’où en appliquant le changement de variable $h-h_*=\sqrt{\frac{\Sigma -\Sigma _{\infty }}{DM}}\ t$

$$\begin{aligned} I(\Sigma )\ge \frac{2}{\sqrt{M}(h_s-h_e)^2}\int _0^{\beta (\Sigma )}\frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} \end{aligned}$$

avec $\beta (\Sigma )=\alpha \sqrt{\frac{DM}{\Sigma -\Sigma _{\infty }}}$. Dans le deuxième cas, en supposant par exemple que $h_*=h_s$, on applique la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre 1 sur $[h_s-\alpha , h_s]\subset \ ]h_e,h_s]$ (ce qui est possible puisque l’on sait que $W\in C^1([h_s-\alpha , h_s])$ d’après (60)), soit donc

$$\begin{aligned} \forall h\in [h_s-\alpha , h_s]:\quad W(h)=W(h_s)+(h-h_s)W'[{\bar{h}}(h,h_s)] \end{aligned}$$

où ${\bar{h}}(h,h_s)\in [h_s-\alpha , h_s]$. En procédant comme dans le premier cas, on obtient l’existence de $M>0$ tel que pour tout $\Sigma \ge \Sigma _{\infty }$

$$\begin{aligned}&\forall h\in [h_s-\alpha , h_s]:\quad 0\le \left[ \frac{\Sigma }{D}-2W(h)\right] (h-h_e)(h_s-h)\\&\quad \le \left[ \frac{\Sigma -\Sigma _{\infty }}{D}+M(h_s-h)\right] (h_s-h_e)(h_s-h). \end{aligned}$$

Ainsi

$$\begin{aligned} I(\Sigma )\ge \frac{1}{\sqrt{h_s-h_e}}\int _{h_s-\alpha }^{h_s}\frac{dh}{\sqrt{\left[ \frac{\Sigma -\Sigma _{\infty }}{D}+2M(h_s-h)\right] (h_s-h)}}. \end{aligned}$$

Le changement de variable $h_s-h=\frac{\Sigma -\Sigma _{\infty }}{2DM}t$ donne alors

$$\begin{aligned} I(\Sigma )\ge \frac{1}{\sqrt{2M(h_s-h_e)}}\int _0^{\gamma (\Sigma )}\frac{dt}{\sqrt{t+t^2}} \end{aligned}$$

avec $\gamma (\Sigma )=\frac{2DM}{\Sigma -\Sigma _{\infty }}\alpha$. Une inégalité identique est obtenue lorsque $h_*=h_e$. En conclusion, pour les deux cas, utilisant le fait que $\beta (\Sigma )$ et $\gamma (\Sigma )$ tendent vers $+\infty$ quand $\Sigma$ tend vers $\Sigma _{\infty }$ par valeurs supérieures, et que les intégrales $\int _0^{+\infty }\frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}$ et $\int _0^{+\infty }\frac{dt}{\sqrt{t+t^2}}$ sont égales à $+\infty$, on obtient que $I(\Sigma )$ tend vers $+\infty$ quand $\Sigma$ tend vers $\Sigma _{\infty }$.$\square$

Annexe 4 Algorithme itératif de couplage

Nous présentons brièvement dans cette section l’algorithme itératif utilisé au §5.2 pour résoudre le problème de recherche du $k_{eff}$. Puis nous proposons un algorithme pour le problème de recherche de $h_s$ utilisant cet algorithme. Ces deux algorithmes sont présentés en supposant que $\Sigma _f$ et D dépendent de h à l’instar de $\Sigma _a(h)$.

1.1 Annexe 4.1 Algorithme itératif de couplage pour le calcul du $k_{eff}$

Nous présentons brièvement l’algorithme itératif utilisé au §5.2 pour résoudre

$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle SD_e\frac{d}{dz}h(z)=\mathcal {P}\times \frac{\mathbb {E}\Sigma _f(h)\phi (z)}{\displaystyle \int _0^L\mathbb {E}\Sigma _f(h)\phi (z)dz}, &{} \text{(a) }\\ \displaystyle -\frac{d}{dz}\left[ D(h)\frac{d}{dz}\phi (z)\right] +\left[ \Sigma _a(h)-\frac{\nu \Sigma _f(h)}{k_{eff}}\right] \phi (z)=0 &{} \text{(b) } \end{array} \right. \end{aligned}$$

(125)

muni des conditions aux limites

$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} h\vert _{z=0}=h_e,\\ h\vert _{z=L}=h_s,\\ \phi \vert _{z=0}=0,\\ \phi \vert _{z=L}=0. \end{array} \right. \end{aligned}$$

(126)

Notons que l’on suppose ici que $\Sigma _f$ et D dépendent de h à l’instar de $\Sigma _a(h)$.

Pour cela, on généralise tout d’abord l’opérateur $\mathcal {L}(h)$ introduit au Lemme 3.1 avec

$$\begin{aligned} \mathcal {L}(h)\phi :=-\frac{d}{dz}\left[ D(h)\frac{d}{dz}\phi \right] +\Sigma _a(h)\phi \end{aligned}$$

puisqu’on suppose que $\Sigma _f$ et D ne sont pas des constantes dans cette présentation de l’algorithme. Puis on introduit les opérateurs

$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle R(h)\psi =\frac{1}{\sqrt{\Sigma _f(h)}}\psi ,\\ P(h)\psi =R(h)\mathcal {L}(h)R(h)\psi . \end{array} \right. \end{aligned}$$

On suppose donc que $z\mapsto \frac{1}{\sqrt{\Sigma _f[h(z)]}}$ est dans $C^1([0,L])$ de sorte que R(h) soit un opérateur de $H_0^1([0,L])$ dans $H_0^1([0,L])$. L’équation (22)(b) est alors équivalente à trouver $\psi$ solution de

$$\begin{aligned} P(h)\psi =\frac{\nu }{k_{eff}}\psi \end{aligned}$$

et à en déduire $\phi$ avec

$$\begin{aligned} \phi =R(h)\psi . \end{aligned}$$

La fonction intermédiaire $\psi$ est donc un vecteur propre de l’opérateur P(h) associé à la valeur propre $\frac{\nu }{k_{eff}}$. Traditionnellement, les codes de neutronique trouvent des solutions de (28)(29) via une procédure qui résout itérativement l’équation sur l’enthalpie interne puis l’équation sur le flux neutronique qui est résolue par l’intermédiaire d’un problème de recherche de plus petite valeur propre.

On note n l’indice de l’itération de cet algorithme de couplage itératif. Et on introduit les opérateurs de Sturm–Liouville

$$\begin{aligned} P_n:=P(h_n)\quad \text{ et }\quad \mathcal {L}_n:=\mathcal {L}(h_n) \end{aligned}$$

qui sont connus lorsque l’enthalpie $h_n$ à l’itération n l’est. Chaque itération n se décompose en 4 étapes:

• Étape 1: On suppose connue l’enthalpie $h_n$. On cherche alors le couple $(k_n,{\tilde{\psi }}_n)$ où $\frac{\nu }{k_n}$ est la plus petite valeur propre de l’opérateur $P_n$ avec conditions de Dirichlet homogènes et telle que ${\tilde{\psi }}_n$ soit l’unique vecteur propre normalisé dans $L^2([0,L])$. Soulignons à nouveau que selon la théorie des opérateurs de Sturm–Liouville [17, 18], le vecteur propre ${\tilde{\psi }}_n$ est strictement positif ou strictement négatif sur ]0, L[. Ici, on le choisit strictement positif pour respecter la contrainte de positivité (11). Selon cette même théorie, les vecteurs propres associés aux autres valeurs propres ne sont pas de signe constant sur ]0, L[, ce qui justifie la recherche de plus petite valeur propre.

• Étape 2: On calcule

  $$\begin{aligned} {\tilde{\phi }}_n=R(h_n){\tilde{\psi }}_n \end{aligned}$$

  qui vérifie donc

  $$\begin{aligned} \mathcal {L}_n{\tilde{\phi }}_n =\mathcal {L}_nR(h_n){\tilde{\psi }}_n=(R(h_n))^{-1}P_n{\tilde{\psi }}_n=\frac{\nu }{k_n}(R(h_n))^{-2}{\tilde{\phi }}_n=\frac{\nu \Sigma _f(h_n)}{k_n}{\tilde{\phi }}_n. \end{aligned}$$

• Étape 3: On calcule $\phi _n$ via la normalisation

  $$\begin{aligned} \phi _n=\frac{{\tilde{\phi }}_n(z)}{\int _0^L\mathbb {E} \Sigma _f[h_n(z)]{\tilde{\phi }}_n(z)dz}. \end{aligned}$$

  Cette fonction est alors l’unique solution positive de $\mathcal {L}_n\phi _n=\frac{\nu \Sigma _f}{k_n}\phi _n$ telle que

  $$\begin{aligned} \int _0^L\mathbb {E}\Sigma _f[h_n(z)]\phi _n(z)dz=1. \end{aligned}$$

• Étape 4: On met à jour l’enthalpie via la résolution de

  $$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle SD_e\frac{d}{dz}h_{n+1}=\mathcal {P}\mathbb {E}\Sigma _f[h_n(z)]\phi _n,\\ h_{n+1}(0)=h_e. \end{array} \right. \end{aligned}$$

  (127)

  Puis on passe à l’Étape 1 de l’itération $n+1$ en fonction du niveau de convergence souhaité, celui-ci pouvant se mesurer par la quantité $\vert \vert h_{n+1}-h_n\vert \vert _{\infty }$.

Il est important de souligner que la mise en œuvre pratique de cet algorithme nécessite de plus la discrétisation du domaine spatial [0, L] (qui représente le cœur nucléaire) avec un nombre fini de mailles. Lorsque l’espace est ainsi discrétisé, les étapes 1 et 4 correspondent à respectivement rechercher la plus petite valeur propre d’une matrice $P_n^{\Delta z}$ correspondant à la discrétisation de l’opérateur $P_n$ (pour un pas en espace de l’ordre de $\Delta z$) et à l’intégration discrète de l’équation différentielle (127). La discrétisation des étapes 2 et 3 est immédiate. Notons que la matrice $P_n^{\Delta z}$ peut par exemple être obtenue via une approximation de type éléments finis. Au §5.2, on utilise des éléments finis de Lagrange d’ordre 1 avec un pas en espace $\Delta z$ constant pour discrétiser l’opérateur $\frac{d^2}{dz^2}$ dans $P_n$, ce qui correspond alors à une approximation de type différences finies.

Il reste à établir qu’au moins sous certaines conditions, cet algorithme converge. Nous abordons cette question délicate dans [20] en nous limitant au cas continu (c’est-à-dire sans discrétisation de l’espace physique).

1.2 Annexe 4.2 Algorithme itératif de couplage pour le calcul de $h_s$

Nous souhaitons maintenant résoudre

$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle D_e\frac{d}{dz}h(z)=\mathbb {E}\Sigma _f(h)\phi (z), &{} \text{(a) }\\ \displaystyle -\frac{d}{dz}\left[ D(h)\frac{d}{dz}\phi (z)\right] +[\Sigma _a(h)-\nu \Sigma _f(h)]\phi (z)=0 &{} \text{(b) } \end{array} \right. \end{aligned}$$

(128)

muni des conditions aux limites

$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} h\vert _{z=0}=h_e,\\ \phi \vert _{z=0}=0,\\ \phi \vert _{z=L}=0. \end{array} \right. \end{aligned}$$

(129)

Pour résoudre (128)(129), nous proposons une méthode itérative basée sur une méthode de tir, et qui trouve sa justification dans le point 1 du Lemme 2.3. Chaque itération m de cet algorithme se décompose en 2 étapes:

• Étape 1: Connaissant $h_s^m>h_e$, on résout le système (125)(126) avec l’algorithme itératif décrit au §4.1. On obtient alors $h^m$, $\phi ^m$ et $k_{eff}^m$. Notons que $\phi ^m=\mu ^m\varphi ^m$ où $\mu ^m=D_e(h_s^m-h_e)$ et où $\varphi ^m$ est le flux neutronique normalisé solution de (125)(126) (i.e. $\int _0^L\mathbb {E}\Sigma _f[h^m(z)]\varphi ^m(z)dz=1$).

• Étape 2: Suivant la valeur de $k_{eff}^m$ par rapport à 1, on met à jour la valeur de $h_s$ à partir de la connaissance de $h_s^m$, ce qui définit $h_s^{m+1}$. Le choix explicite de $h_s^{m+1}$ en fonction de $k_{eff}^m$ dépend de la physique du problème. Plus précisément:

  $$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} Lorsque\,dans\,le\,voisinage\,de\,h_s^m,\,l'on\,a\,\frac{d k_{eff}}{d h_s}>0 :&{} \left\{ \begin{array}{l} k_{eff}^m\ge 1 \Rightarrow h_s^{m+1}=h_s^m\cdot (1-\varepsilon ^m),\\ k_{eff}^m\le 1 \Rightarrow h_s^{m+1}=h_s^m\cdot (1+\varepsilon ^m).\\ \end{array} \right. \\ Lorsque\,dans\,le\,voisinage\,de\,h_s^m,\,l'on\,a\,\frac{d k_{eff}}{d h_s}<0 :&{} \left\{ \begin{array}{l} k_{eff}^m\ge 1 \Rightarrow h_s^{m+1}=h_s^m\cdot (1+\varepsilon ^m),\\ k_{eff}^m\le 1 \Rightarrow h_s^{m+1}=h_s^m\cdot (1-\varepsilon ^m)\\ \end{array} \right. \end{array} \right. \end{aligned}$$

  où $\varepsilon ^m\in [0,1[$ est un petit paramètre fixé par l’utilisateur qui tend vers zéro lorsque $k_{eff}^m$ tend vers 1. Par exemple $\varepsilon ^m=\min \left( \varepsilon ^0,\left| k_{eff}^m-1\right| \right)$ où $\varepsilon ^0\in ]0,1[$. Puis on passe à l’Étape 1 de l’itération $m+1$ en fonction du niveau de convergence souhaité, celui-ci pouvant se mesurer par la quantité $\vert k_{eff}^m-1\vert$.

Soulignons que cet algorithme itératif nécessite l’utilisation d’un algorithme itératif dans l’Étape 1. Il est donc constitué de 2 boucles itératives imbriquées, la boucle extérieure étant sur la valeur du scalaire $k_{eff}^m$. Notons par ailleurs que dans l’Étape 2, la connaissance du signe de $\frac{d k_{eff}}{d h_s}$ au voisinage de $h_s^m$ et le choix optimal de $\varepsilon ^m$ en fonction de $k_{eff}^m$ dépendent de la physique du problème c’est-à-dire de $\Sigma _a(h)$, $\Sigma _f(h)$ et D(h), et pourront être appréhendés via quelques essais lorsqu’aucune information n’est disponible. Par exemple, dans le cas d’une section efficace d’absorption affine, et lorsque $\Sigma _f(h)$ et D(h) sont des constantes, la formule (96) montre que

$$\begin{aligned} \frac{d k_{eff}}{d h_s}=-\frac{\nu \Sigma _f}{\displaystyle \left( \frac{\sigma _a(1+m^2)}{3m^2}(h_s-h_e)+\Sigma _{a,e}\right) ^2}\cdot \frac{\sigma _a(1+m^2)}{3m^2}<0. \end{aligned}$$

(130)

La connaissance explicite du signe de $\frac{d k_{eff}}{d h_s}$ dans le cas affine oriente donc l’algorithme dans l’Étape 2. Le choix optimal de $\varepsilon ^m$ en fonction de $k_{eff}^m$ reste cependant à être évalué.

Lorsque l’algorithme de calcul du $k_{eff}$ converge, cet algorithme de calcul de $h_s$ converge forcément dès lors que (128)(129) admet une unique solution. D’après le Théorème 3.2, lorsque $\Sigma _f(h)$ et D(h) sont des constantes, sous l’Hypothèse 3.1 et lorsque $L\ge L_{\min }$, l’algorithme de calcul de $h_s$ converge donc si et seulement si l’algorithme de calcul du $k_{eff}$ converge. Par contre, dans le cas général, lorsque (128)(129) admet une solution, il n’y a pas nécessairement unicité comme le souligne le Théorème 3.5. Dans ce cas, la convergence de l’algorithme de calcul du $k_{eff}$ n’assure pas la convergence de l’algorithme de calcul de $h_s$ vers une des solutions de (128)(129) pour toute itérée initiale $h_s^0$, l’algorithme pouvant par exemple osciller entre 2 solutions de (128)(129) ou converger vers une des solutions mais pour un choix particulier de $h_s^0$.