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Specifying and Structuring Mathematical Topics

A Four-Level Approach for Combining Formal, Semantic, Concrete, and Empirical Levels Exemplified for Exponential Growth

Spezifizierung und Strukturierung mathematischer Lerngegenstände

Ein Vier-Stufen-Ansatz zur Kombination der formalen, semantischen, konkreten und empirischen Ebene am Beispiel des exponentiellen Wachstums

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Abstract

This article presents our four-level approach for specifying and structuring mathematical learning content developed within the research program of topic-specific design research. We understand this approach as an extension of classic “didactical analysis of subject matters,” following the tradition of Stoffdidaktik and extending it by combination with an empirical component. For the exemplarily chosen topic of exponential growth, we illustrate why specifying and structuring along the four-level approach is a constructive and creative work rather than a pure analysis. We discuss the mostly theoretical work of classic didactical analysis of subject matters on the formal, semantic, and concrete levels and analyze the connections between these levels and the empirical level. With the four-level approach, we emphasize the need for including empirical investigations since they can enrich the process of specifying and structuring mathematical topics.

Zusammenfassung

Im vorliegenden Beitrag wird der Vier-Stufen-Ansatz zu Spezifizierung und Strukturierung mathematischer Lerninhalte dargestellt, der innerhalb des Forschungsprogramms zum gegenstandspezifischen Unterrichtsdesign entwickelt wurde (Forschungsprogramm der Fachdidaktischen Entwicklungsforschung). Die Autoren verstehen diesen Ansatz als Ausweitung der klassischen „didaktischen Analyse der Lerninhalte“ in der Tradition der Stoffdidaktik und ergänzen ihn durch Kombination mit einer empirischen Komponente. Für das beispielhaft gewählte Thema des exponentiellen Wachstums wird veranschaulicht, warum die Spezifizierung und Strukturierung anhand des Vier-Stufen-Ansatzes eher eine konstruktive und kreative Tätigkeit ist als eine reine Analyse. Der überwiegend theroretische Ansatz der klassischen didaktischen Analyse von Unterrichtsstoff wird auf formaler, semantischer und konkreter Ebene erörtert und die Zusammenhänge zwischen diesen Ebenen und der empirischen Ebene ausgewertet. Im Rahmen des Vier-Stufen-Ansatzes betonen die Autoren die Notwendigkeit, auch empirische Untersuchungen einfließen zu lassen, da diese den Prozess des Spezifizierens und Strukturierens mathematischer Inhalte bereichern können.

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Notes

  1. We use the following translations of technical terms (being defined and refered to literature in Sect. 3): big ideas = fundamentale Ideen (Bruner 1960; Schweiger 2006), basic mental models = Grundvorstellungen (vom Hofe 1998), core questions and ideas = Kernfragen und -ideen (Gallin and Ruf 1990; Leuders et al. 2011), intended learning trajectory = intendierter Lernpfad, individual learning pathway = individueller Lernweg (Confrey 2006; Simon 1995), vertical and horizontal mathematization = vertikale und horizontale Mathematisierung (Treffers 1987).

References

  • Akker, J. van den, Gravemeijer, K., McKenney, S., & Nieveen, N. (Eds.) (2006). Educational design research: the design, development and evaluation. London: Routledge.

    Google Scholar 

  • Bender, P. (1991). Ausbildung von Grundvorstellungen und Grundverständnissen – ein tragendes didaktisches Konzept für den Mathematikunterricht [Developing basic mental models and basic understandings]. In H. Postel, A. Kirsch, & W. Blum (Eds.), Mathematik lehren und lernen (pp. 48–60). Hannover: Schroedel.

    Google Scholar 

  • Brandom, R. B. (1994). Making it Explicit. Reasoning, Representing, and Discursive Commitment. Cambridge: Harvard University Press.

    Google Scholar 

  • Brousseau, G. (1997). The theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht: Kluwer.

    Google Scholar 

  • Bruner, J. (1960). The process of education. Cambridge: Harvard University Press.

    Google Scholar 

  • Bruner, J. (1999). Some reflections on education research. In E. C. Lagemann, & L. S. Shulman (Eds.), Issues in education research: problems and possibilities (pp. 399–409). San Francisco: Jossey-Bass.

    Google Scholar 

  • Castillo-Garsow, C. (2012). Continuous quantitative reasoning. In R. Mayes, L. Hattfield, & S. Belbase (Eds.), Quantitative Reasoning: Current state of understanding (pp. 55–73). Laramie: University of Wyoming Press.

    Google Scholar 

  • Cobb, P., Confrey, J., diSessa, A., Lehrer, R., & Schauble, L. (2003). Design experiments in educational research. Educational Researcher, 32(1), 9–13.

    Article  Google Scholar 

  • Confrey, J. (1991). The concept of exponential functions: a student’s perspective’. In L. Steffe (Ed.), Epistemological Foundations of Mathematical Experience (pp. 124–159). New York: Springer.

    Chapter  Google Scholar 

  • Confrey, J. (1993). Learning to see children’s mathematics: Crucial challenges in constructivist reform. In K. Tobin (Ed.), Constructivist perspectives in science and mathematics (pp. 299–321). Washington: American Association for the Advancement of Science.

    Google Scholar 

  • Confrey, J. (2006). The evolution of design studies as methodology. In K. Sawyer (Ed.), Cambridge handbook of the learning sciences (pp. 135–152). Cambridge: Cambridge University Press.

    Google Scholar 

  • Confrey, J., & Lachance, A. (2000). Transformative teaching experiments through conjecture–driven research design. In E. Kelly, & R. Lesh (Eds.), Handbook of research design in mathematics and science education (pp. 231–266). Mahwah: Lawrence Erlbaum.

    Google Scholar 

  • Confrey, J., & Smith, E. (1994). Exponential functions, rates of change, and the multiplicative unit. Educational Studies in Mathematics, 26(2–3), 135–164.

    Article  Google Scholar 

  • Confrey, J., & Smith, E. (1995). Splitting, Covariation, and their role in the development of exponential functions. Journal for Research in Mathematics Education, 26(1), 66–86.

    Article  Google Scholar 

  • Davis, J. D. (2009). Understanding the influence of two mathematics textbooks on prospective secondary teachers’ knowledge. Journal of Mathematics Teacher Education, 12(5), 365–389.

    Article  Google Scholar 

  • Dewey, J. (1926). Democracy and Education. New York: Macmillan.

    Google Scholar 

  • Duit, R., Gropengießer, H., & Kattmann, U. (2005). Towards Science education that is relevant for improving practice: The model of educational reconstruction. In H. E. Fischer (Ed.), Developing Standards in Research on Science Education (pp. 1–9). London: Taylor & Francis.

    Google Scholar 

  • Dubinsky, E., & Harel, G. (1992). The nature of the process conception of function. In G. Harel, & E. Dubinsky (Eds.), The concept of function: Aspects of epistemology and pedagogy (pp. 85–106). Washington: Mathematical Association of America.

    Google Scholar 

  • Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61(1–2), 103–131.

    Article  Google Scholar 

  • Ellis, A. B., Ozgur, Z., Kulow, T., Williams, C., & Amidon, J. (2012). Quantifying exponential growth: The case of the Jactus. In R. Mayes, & L. Hatfield (Eds.), Quantitative reasoning and mathematical modeling: a driver for STEM integrated education and teaching in context (pp. 93–112). Laramie: University of Wyoming.

    Google Scholar 

  • Freudenthal, H. (1974). Die Stufen im Lernprozess und die heterogene Lerngruppe im Hinblick auf die Middenschool [The levels in the learning process and the heterogeneous group of learners with respect to the middle school]. Neue Sammlung, 14, 161–172.

    Google Scholar 

  • Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures. Dordrecht: Kluwer.

    Google Scholar 

  • Gallin, P., & Ruf, U. (1990). Sprache und Mathematik in der Schule. Auf eigenen Wegen zur Fachkompetenz [Language and mathematics. On individual ways towards mathematical competence]. Seelze: Kallmeyer.

    Google Scholar 

  • Gravemeijer, K., & Cobb, P. (2006). Design research from a learning design perspective. In J. v. d. Akker, K. Gravemeijer, S. McKenney, & N. Nieveen (Eds.), Educational design research: The design, development and evaluation of programs, processes and products (pp. 17–51). London: Routledge.

    Google Scholar 

  • Griesel, H. (1971). Die mathematische Analyse als Forschungsmittel in der Didaktik der Mathematik. The mathematical analysis as a means of research in didactics of mathematics. Beiträge zum Mathematikunterricht, 72–81.

  • Griesel, H. (1974). Überlegungen zur Didaktik der Mathematik als Wissenschaft [Reflections on the didactics of mathematics as scientific discipline]. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 6, 115–119.

    Google Scholar 

  • Hefendehl-Hebeker, L. (2002). On aspects of didactically sensitive understanding of mathematics. In H. G. Weigand et al. (Ed.), Developments in mathematics education in German-speaking countries (pp. 20–32). Hildesheim: Franzbecker.

    Google Scholar 

  • Hefendehl-Hebeker, L. (2016). Subject-matter didactics in German traditions – Early historical developments. Journal für Mathematik-Didaktik. doi: 10.1007/s13138-016-0103-7.

    Google Scholar 

  • Heuvel-Panhuizen, M. van den (2005). Can scientific research answer the ‘what’ question of mathematics education? Cambridge Journal of Education, 35(1), 35–53.

    Article  Google Scholar 

  • Heymann, H. W. (1996). Allgemeinbildung und Mathematik. Weinheim: Beltz. Reprinted in English as Heymann, H. W. (2003). Why teach mathematics? A focus on general education. Dordrecht: Springer.

    Google Scholar 

  • Hiebert, J. (1986). Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics. Hillsdale: Erlbaum.

    Google Scholar 

  • Hofe, R. vom (1998). On the generation of basic ideas and individual images. In A. Sierpinska, & J. Kilpatrick (Eds.), Mathematics education as a research domain: a search for identity. An ICMI study (vol. 2, pp. 317–331). Dordrecht: Kluwer.

    Google Scholar 

  • Holland, G. (1974). Geometrie für Lehrer und Studenten [Geometry for teacher and students]. vol. 1. Hannover: Schroedel.

    Google Scholar 

  • Hußmann, S. (2002). Konstruktivistisches Lernen an intentionalen Problemen. Mathematik unterrichten in einer offenen Lernumgebung [Constructivist learning with intentional problems. Teaching mathematics in open learning environments]. Hildesheim: Franzbecker.

    Google Scholar 

  • Hußmann, S., & Schacht, F. (2015). Fachdidaktische Entwicklungsforschung in inferentieller Perspektive am Beispiel von Variable und Term [Design Research in an Inferential Perspective, illustrated by variables and algebraic expressions]. Journal für Mathematik-Didaktik, 36(1), 105–134.

    Article  Google Scholar 

  • Hußmann, S., Thiele, J., Hinz, R., Prediger, S., & Ralle, B. (2013). Gegenstandsorientierte Unterrichtsdesigns entwickeln und erforschen – Fachdidaktische Entwicklungsforschung im Dortmunder Modell [develop and research topic-specific instructional designs]. In M. Komorek, & S. Prediger (Eds.), Der lange Weg zum Unterrichtsdesign: Zur Begründung und Umsetzung genuin fachdidaktischer Forschungs- und Entwicklungsprogramme (pp. 19–36). Münster: Waxmann.

    Google Scholar 

  • Jahnke, T. (1998). Zur Kritik und Bedeutung der Stoffdidaktik [On critique and relevance of ‘Stoffdidactic’]. Mathematica Didactica, 21(2), 61–74.

    Google Scholar 

  • Kattmann, U., Duit, R., Gropengießer, H., & Komorek, M. (1997). Das Modell der Didaktischen Rekonstruktion – Ein Rahmen für naturwissenschaftsdidaktische Forschung und Entwicklung [The model of Educational Reconstruction für science education research and development]. Zeitschrift für Didaktik der Naturwissenschaften, 3(3), 3–18.

    Google Scholar 

  • Kirsch, A. (1977). Zur Behandlung von Wachstumsprozessen und Exponentialfunktionen in der Unter- und Oberstufe. [On the treatment of growth and exponential functions] Mathematische Schriften – Preprint. Kassel: Gesamthochschule. (Reprinted 1978 in Österreichische Mathematische Gesellschaft (Eds.), Didaktik-Reihe 1, 17–37).

  • Kirsch, A. (1978). Aspects of Simplification in Mathematics Teaching. In H. Athen, & H. Kunle (Eds.), Proceedings of the third international congress on mathematical education, Karlsruhe 1976 (pp. 98–120). Karlsruhe: FIZ. Reprinted in I. Westbury, S. Hopmann, K. Riquarts (Eds.) (2000), Teaching as a reflective practice. The German Didaktik Tradition(pp. 267–284). Lawrence Erlbaum Publishers, London.

    Google Scholar 

  • Kirsch, A. (1979). Ein Vorschlag zur visuellen Vermittlung einer Grundvorstellung vom Ableitungsbegriff. Der Mathematikunterricht, 25(3), 25–41.

    Google Scholar 

  • Kirsch, A. (2014). The fundamental theorem of calculus: visually? ZDM – The International Journal on Mathematics Education, 46(4), 691–695.

    Article  Google Scholar 

  • Klafki, W. (1958). Didaktische Analyse als Kern der Unterrichtsvorbereitung. Die Deutsche Schule, 50(1), 450–471. Reprinted in English: Klafki, W. (1995). Didactic analyses as the core of preparation for instruction. Journal of Curriculum Studies, 27(1), 13–30.

    Google Scholar 

  • Klein, F. (1908). Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus [Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint] (vol. 1). Leipzig: Teubner.

    Google Scholar 

  • Kröpfl, B., Peschek, W., & Schneider, E. (2000). Stochastik in der Schule: Globale Ideen, lokale Bedeutungen, zentrale Tätigkeiten [Stochastics in school: Big ideas, local meanings, central activities]. Mathematica Didactica, 23(2), 25–57.

    Google Scholar 

  • Kühnel, J. (1919). Neubau des Rechenunterrichts [New structure of calculation classes]. Leipzig: Klinkhardt.

    Google Scholar 

  • Lengnink, K. (2009). Vorstellungen bilden: Zwischen Lebenswelt und Mathematik [Developing conceptions: Between everyday context and mathematics]. In T. Leuders, L. Hefendehl-Hebeker, & H.-G. Weigand (Eds.), Mathemagische Momente (pp. 120–129). Berlin: Cornelsen.

    Google Scholar 

  • Lengnink, K., & Prediger, S. (2000). Mathematisches Denken in der Linearen Algebra [Mathematical thinking in Linear Algebra]. ZDM – Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 32(4), 111–122.

    Article  Google Scholar 

  • Lesh, R. (1979). Mathematical learning disabilities. In R. Lesh, D. Mierkiewicz, & M. Kantowski (Eds.), Applied mathematical problem solving (pp. 111–180). Columbus: Ericismeac.

    Google Scholar 

  • Leuders, T., Hußmann, S., Barzel, B., & Prediger, S. (2011). “Das macht Sinn!”  Sinnstiftung mit Kontexten und Kernideen [“That makes sense!” Construction of sense with contexts and core ideas]. Praxis der Mathematik in der Schule, 53(37), 2–9.

    Google Scholar 

  • Malle, G. (2000). Zwei Aspekte von Funktionen: Zuordnung und Kovariation [Two aspects of functions: Correspondence and covariation]. Mathematik Lehren, 103, 8–11.

    Google Scholar 

  • Oehl, W. (1962). Der Rechenunterricht in der Grundschule [Calculation classes in primary schools]. Hannover: Schroedel.

    Google Scholar 

  • Plomp, T., & Nieveen, N. (2013). Educational design research: illustrative cases. Enschede: SLO, Netherlands Institute for Curriculum Development.

    Google Scholar 

  • Prediger, S. (2008). Do you want me to do it with probability or with my normal thinking? Horizontal and vertical views on the formation of stochastic conceptions. International Electronic Journal of Mathematics Education, 3(3), 126–154.

    Google Scholar 

  • Prediger, S., & Zwetzschler, L. (2013). Topic-specific design research with a focus on learning processes: The case of understanding algebraic equivalence in grade 8. In T. Plomp, & N. Nieveen (Eds.), Educational design research: illustrative cases (pp. 407–424). Enschede: SLO, Netherlands Institute for Curriculum Development.

    Google Scholar 

  • Prediger, S., Bikner-Ahsbahs, A., & Arzarello, F. (2008). Networking strategies and methods for connecting theoretical approaches: first steps towards a conceptual framework. ZDM – The International Journal on Mathematics Education, 40(2), 165–178. doi:10.1007/s11858-008-0086-z.

    Article  Google Scholar 

  • Prediger, S., Link, M., Hinz, R., Hußmann, S., Thiele, J., & Ralle, B. (2012). Lehr-Lernprozesse initiieren und erforschen – Fachdidaktische Entwicklungsforschung im Dortmunder Modell Initiating and investigating teaching learning processes – Didactical Design Research. Mathematischer und Naturwissenschaftlicher Unterricht, 65(8), 452–457.

    Google Scholar 

  • Prediger, S., Gravemeijer, K., & Confrey, J. (2015). Design research with a focus on learning processes – an overview on achievements and challenges. ZDM Mathematics Education, 47(6), 877–891. doi:10.1007/s11858-015-0722-3.

    Article  Google Scholar 

  • Reichel, H.-C. (1995). Hat die Stoffdidaktik Zukunft? [Does the ‘Stoffdidaktik’ have a future?]. ZDM – Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 27(6), 178–187.

    Google Scholar 

  • Richter, V. (2014). Routen zum Begriff der linearen Funktion – Entwicklung und Beforschung eines kontextgestützten und darstellungsreichen Unterrichtsdesigns [Routes towards the concept of linear function – Development and Research of a context based and representation rich instructional design]. Wiesbaden: Springer.

    Google Scholar 

  • Roth, H. (1970). Pädagogische Psychologie des Lehrens und Lernens [Pedagogical Psychology of teaching and learning]. Hannover: Schroedel.

    Google Scholar 

  • Schink, A. (2013). Flexibler Umgang mit Brüchen [Flexibly dealing with fractions]. Wiesbaden: Springer Spektrum.

    Book  Google Scholar 

  • Schweiger, F. (2006). Fundamental Ideas. a bridge between mathematics and mathematics education. In J. Maaß, & W. Schlöglmann (Eds.), New mathematics education research and practice (pp. 63–73). Rotterdam: Sense.

    Google Scholar 

  • Schwill, A. (1993). Fundamentale Ideen der Informatik [Big ideas of computer science]. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 25(2), 20–31.

    Google Scholar 

  • Skemp, R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77, 20–26.

    Google Scholar 

  • Simon, M. A. (1995). Reconstructing mathematics pedagogy from a constructivist perspective. Journal for Research in Mathematics Education, 26(2), 114–145.

    Article  Google Scholar 

  • Steinbring, H. (1998). Mathematikdidaktik: Die Erforschung theoretischen Wissens in sozialen Kontexten des Lernens und Lehrens [Mathematics didactics: Investigation theoretical knowledge in social contexts of learning and teaching]. ZDM – Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 30(5), 161–167.

    Article  Google Scholar 

  • Sträßer, R. (1996). Stoffdidaktik und Ingénierie didactique – ein Vergleich [‘Stoffdidactic’ and ‘Ingénierie didactique’ a comparison]. In G. Kadunz et al. (Ed.), Trends und Perspektiven (pp. 369–376). Vienna: Hölder-Pichler-Tempsky.

    Google Scholar 

  • Thiel-Scheider, A. (in prep.). Students’ pathways to exponential growth – a design research study (Translated working title). PhD-Thesis in preparation, TU Dortmund.

  • Thompson, W. (2011). Quantitative reasoning and mathematical modeling. In L. L. Hatfield, S. Chaimberlain, & S. Belbaise (Eds.), New perspectives and directions for collobarative reseach in mathematics education (pp. 33–57). Laramie: University of Wyoming.

    Google Scholar 

  • Tietze, U.-P., Klika, M., & Wolpers, H. (1997). Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II [Mathematics education in upper secondary schools]. vol. 1. Braunschweig: Vieweg.

    Book  Google Scholar 

  • Treffers, A. (1987). Three dimensions: a model of goal and theory description in mathematics instruction – The Wiskobas project. Dordrecht: Kluwer.

    Book  Google Scholar 

  • Usiskin, Z. (2008). The arithmetic curriculum and the real world. In D. D. Bock, B. D. Søndergaard, B. A. Gómez, & C. C. L. Cheng (Eds.), Proceedings of ICME-11 – Topic Study Group 10, Research and Development of Number Systems and Arithmetic (pp. 9–16). Monterrey: ICMI.

    Google Scholar 

  • Vohns, A. (2010). Fünf Thesen zur Bedeutung von Kohärenz- und Differenzerfahrungen im Umfeld einer Orientierung an mathematischen Ideen [On the importance of experiencing coherence and differences in the context of big ideas – five theses]. Journal für Mathematik-Didaktik, 31(2), 227–255.

    Article  Google Scholar 

  • Vohns, A. (2016). Fundamental ideas as a guiding category in mathematics education – early understandings, developments in german-speaking countries and relations to subject matter Didactics. Journal für Mathematik-Didaktik. doi:10.1007/s13138-016-0086-4.

    Google Scholar 

  • Vollrath, H.-J. (1978). Rettet die Ideen! [Save the ideas!]. Der Mathematisch Naturwissenschaftliche Unterricht, 31(8), 449–455.

    Google Scholar 

  • Vollrath, H.-J. (1979). Die Bedeutung von Hintergrundtheorien für die Bewertung von Unterrichtssequenzen [The relevance of background theories for evaluation instructional sequences]. Der Mathematikunterricht, 25(5), 77–89.

    Google Scholar 

  • Vollrath, H.-J. (1989). Funktionales Denken [Functional thinking]. Journal für Mathematik-Didaktik, 10(1), 3–37.

    Article  Google Scholar 

  • Wagenschein, M. (1968). Verstehen lehren. Genetisch – Sokratisch – Exemplarisch [Teaching understanding. Genetically, socratically, exemplarily]. Weinheim: Beltz.

    Google Scholar 

  • Weber, K. (2002). Students’ understanding of exponential and logarithmic functions. In I. Vakalis et al. (Eds.), Second conference on the Teaching of Mathematics (pp. 1–10). Crete: University of Crete. http://www.math.uoc.gr/~ictm2/Proceedings/pap145.pdf. Accessed 16 May 2015

    Google Scholar 

  • Westbury, I., Hopmann, S., & Riquarts, K. (Eds.). (2000). Teaching as a reflective practice. The German Didaktik Tradition. London: Lawrence Erlbaum.

    Google Scholar 

  • Winkelmann, B. (1994). Preparing mathematics for students. In R. Biehler, R. W. Scholz, R. Sträßer, & B. Winkelmann (Eds.), Didactics of mathematics as a scientific discipline (pp. 9–13). Dordrecht: Kluwer.

    Google Scholar 

  • Winter, H. (1983). Über die Entfaltung begrifflichen Denkens [On the development of conceptual thinking]. Journal für Mathematik-Didaktik, 4(3), 175–204.

    Article  Google Scholar 

  • Wittmann, E. C. (1981). Grundfragen des Mathematikunterrichts [Basic questions of mathematics education]. Braunschweig: Vieweg.

    Book  Google Scholar 

  • Wittmann, E. C. (2012). Das Projekt “mathe 2000”: Wissenschaft für die Praxis – eine Bilanz aus 25 Jahren didaktischer Entwicklungsforschung. [The project “math 2000”: Academic discipline for practice – Taking stock of 25 years of didactical design research]. In G. N. Müller, C. Selter, & E. C. Wittmann (Eds.), Zahlen, Muster und Strukturen (pp. 265–279). Stuttgart: Klett.

    Google Scholar 

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We thank Alexandra Thiel-Schneider, who works in the design research project, for conducting and analyzing the design experiments. And we thank our research group and the reviewers for in-depth discussions on earlier versions of the article.

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Hußmann, S., Prediger, S. Specifying and Structuring Mathematical Topics. J Math Didakt 37 (Suppl 1), 33–67 (2016). https://doi.org/10.1007/s13138-016-0102-8

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