Abstract
The paper discusses Husserl’s notion of definiteness as presented in his Göttingen Mathematical Society Double Lecture of 1901 as a defense of two, in many cases incompatible, ideals, namely full characterizability of the domain, i.e., categoricity, and its syntactic completeness. These two ideals are manifest already in Husserl’s discussion of pure logic in the Prolegomena: The full characterizability is related to Husserl’s attempt to capture the interconnection of things, whereas syntactic completeness relates to the interconnection of truths. In the Prolegomena Husserl argues that an ideally complete theory gives an independent norm for objectivity for logic and experiential sciences, hence the notion is central to his argument against psychologism. In the Double Lecture the former is captured by non-extendibility, that is, categoricity of the domain, from which, so Husserl assumes, syntactic completeness is thought to follow. In the so-called ‘mathematical manifolds’ the expressions of the theory are equations that are reducible to equations between elements of the theory. With such an equational reduction structure individual elements of the domain are given criteria of identity and hence they are fully determined.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Similar content being viewed by others
Notes
Hintikka (1998) has put these ideals in terms of two functions of logic for mathematics, namely a descriptive and a deductive function. Whereas the former aims at giving an analysis to mathematical concepts, the latter function is to study the relations of logical consequence (pp. 1–21).
In what follows I will use the following abbreviations: FTL for Husserl (1974); Briefwechsel I for Husserl (1994); Crisis for Husserl (1976); Hua XX/1 for Husserl (2002); and Ideen I for Husserl (1950); and Prolegomena for Husserl (1975). I will use existing published translations, however so that I will translate the term ‘Mannigfaltigkeit’ systematically as a ‘manifold‘. Other possible changes will be noted separately.
,,Als letzter Erfolg dieser Überlegungen resultiert eine klar umrissene Idee von dem wesentlichen Gehalt der strittigen Disziplin, womit von selbst eine klare Position zu den aufgeworfenen Streitfragen gegeben ist“ (§3).
To clarify the notion of pure structure I will follow Steward Shapiro (1997) and use the term ‘system’ for “a collection of objects with certain relations” and the word ‘pure structure’ for an abstract form of a system (Shapiro 1997, pp. 73–74). Pure structure can then be formalized as
$$\begin{aligned}{}[\hbox {S}]=[\hbox {S}_{0}]\leftrightarrow \hbox {S}\cong \hbox {S}_{0}, \end{aligned}$$as done by Øystein Linnebo (in a presentation given in Munich, October 2016). Whereas the system can be any collection of objects with any relations on them, in Husserl the systems are created by axiomatic theories. The theories can thus be said to be satisfied by the systems. Hence, in Husserl’s case, the systems are models and pure structures can be said to be domains of categorical theories in the model theoretical sense.
”Vielmehr bilden jene Theorien in ihrer idealen Vollendung den allumfassenden Fond, aus dem jede bestimmte (sc. Wirkliche, gültige) Theorie die gehörigen idealen Gründe ihrer Wesenhaftigkeit schöpft: es sind die Gesetze, denen gemäß sie verläuft, und aus denen sie als gültige Theorie, ihrer ,Form‘ nach, vom letzten Grund aus gerechtfertigt werden kann“ (§68, in accordance to A edition).
The passage reads in its entirety as follows: ”Das gegenständliche Korrelat des Begriffes der möglichen, nur der Form nach bestimmten Theorie ist der Begriff eines möglichen, durch eine Theorie solcher Form zu beherrschenden Erkenntnisgebietes überhaupt. Ein solches Gebiet nennt aber der Mathematiker (in seinem Kreise) eine Mannigfaltigkeit. Es ist also ein Gebiet, welches einzig und allein dadurch bestimmt ist, daß es einer Theorie solcher Form untersteht, bzw. daß für seine Objekte gewisse Verknüpfungen möglich sind, die unter gewissen Grundgesetzen der und der bestimmten Form (hier das einzig Bestimmende) stehen. Ihrer Materie nach bleiben die Objekte völlig unbestimmt—der Mathematiker spricht, dies anzudeuten, mit Vorliebe von ,Denkobjekten‘. Sie sind eben weder direkt als individuelle oder spezifische Einzelheiten, noch indirekt durch ihre inneren Arten oder Gattungen bestimmt, sondern ausschließlich durch die Form ihnen zugeschriebener Verknüpfungen. Diese selbst sind also inhaltlich ebensowenig bestimmt, wie ihre Objekte; bestimmt ist nur ihre Form, nämlich durch die Form für sie als gültig angenommener Elementargesetze. Und diese bestimmen dann, wie das Gebiet, so die aufzubauende Theorie oder richtiger gesprochen, die Theorienform. In der Mannigfaltigkeitslehre ist z. B. + nicht das Zeichen der Zahlenaddition, sondern einer Verknüpfung überhaupt, für welche Gesetze der Form a + b = b + a usw. gelten. Die Mannigfaltigkeit ist dadurch bestimmt, daß ihre Denkobjekte diese (und andere, damit als a priori verträglich nachzuweisenden) ,Operationen‘ ermöglichen“ (§70, according to A edition).
”Es wird eine bestimmte Ordnung des Verfahrens geben, wonach wir die möglichen Formen zu konstruieren, ihre gesetzlichen Zusammenhänge zu überschauen, also auch die einen durch Variation bestimmender Grundfaktoren in die anderen überzuführen vermögen usw.“(§69).
”Dies ist ein letztes und höchstes Ziel einer theoretischen Wissenschaft von der Theorie überhaupt.“(§69)
”Die allgemeinste Idee einer Mannigfaltigkeitslehre ist es, eine Wissenschaft zu sein, welche die wesentlichen Typen möglicher Theorien [(bzw. Gebiete) added to the B edition] bestimmt ausgestaltet und ihre gestzmäßigen Beziehungen zueinander erforscht. Alle wirklichen Theorien sind dann Spezialisierungen bzw. Singularisierungen ihnen entsprechender Theorienformen, so wie alle theoretisch bearbeiteten Erkenntnisgebiete einzelne Mannigfaltigkeiten sind. Ist in der Mannigfaltigkeitselhre die betreffende formale Theorie wirklich durchgeführt, so ist damit alle deduktive theoretische Arbeit für den Aufbau aller wirklichen Theorien derselben Form erledigt“ (§70).
This goes well with his self-declared Platonism about mathematics. The categorical theories describe the well-determined reality. In a 1905 letter to Brentano Husserl claimed that already the Prolegomena had been influenced by Lotze’s interpretation of Plato (Briefwechsel I, 39). In his attempt to rewrite the introduction to the 1913 edition of the Logische Untersuchungen Husserl elaborates on this as follows:
“The fully conscious and radical turn and the related ‘Platonism’ I owe to the study of Lotze’s Logik. As little as Lotze himself could overcome contradictions and psychologism, as much his genial interpretation of Platonic ideas helped me and my further studies. Lotze’s discussion of truths in themselves suggested to me the thought to place all mathematics and a good part of traditional logic into the realm of ideality” (Hua XX/I, 297).
,,Ein Axiomensystem, das ein Gebiet umgrenzt, heiße definit, wenn jeder aufgrund des Axiomensystems verständliche Satz, als Satz für das Gebiet aufgefaßt, entweder ... er folgt aus den Axiomen oder er widerspricht ihnen“ (Schuhmann and Schuhmann 2001, p. 111).
Pace Centrone (2010), who takes this definition as a syntactic one.
,,Definit ist ein irreduktibles Axiomensystem, welches ein formales Objektgebiet so umgrenzt (als existierend begründet), daß für dieses Gebiet, d.h. unter Festhaltung der Identität des Axiomensystems und unter Voraussetzung, daß keine neuen Objekte definiert werden und hierdurch als existierend angenommen werden, kein independentes Axiom hinzugefügt werden kann, welches sich rein aus den schon definierten Begriffen aufbaut... Ich kann aber auch sagen: Definit ist ein Axiomensystem, welches ein Objektgebiet formal so definiert, daß jede für dieses Objektgebiet sinnvolle Frage durch das Axiomensystem seine Antwort fände oder daß jeder durch die Axiome sinnvolle Satz, wenn wir ihn ausschließlich auf die durch die Axiome als existierend begründeten Objekte beschränken, entweder aus den Axiomen folgt oder ihnen widerschpricht“ (Schuhmann and Schuhmann 2001, p. 108).
“Mathematik im höchsten und umfassendsten Sinn ist die Wissenschaft von den theoretischen Systemen überhaupt und in Abstraktion von dem, was in den gegebenen Theorien der erschiedenen Wissenschaften theoretisiert wird. Vollziehen wir bei irgendeiner gegebenen Theorie, bei irgendeinem gegebenen deduktiven System [Abstraktion] von seiender Materie, von den besonderen Gattungen von Objekten, auf deren theoretische Beherrschung sie es abgesehen hat, und substituieren wir den materiell bestimmten Objektvorstellungen die bloß formalen, also die Vorstellung von Objekten überhaupt, die durch solch eine Theorie, durch eine Theorie dieser Form beherrscht wird so haben wir eine Verallgemeinerung vollzogen, welche die gegebene Theorie als einen bloßen Einzelfall einer Theorienklasse auffaßt oder vielmehr einer Theorienform, die wir einheitlich auffassen und um deren willen wir dann sagen können, alle diese einzelnen wissenschaftlichen Gebiete hätten der Form nach dieselbe Theorie“ (Schuhmann and Schuhmann 2001, p. 91).
“Eine systematisch durchgearbeitete Theorie in diesem Sinn ist definiert durch einen Inbegriff von formalen Axiomen, d.h. durch eine begrenzte Anzahl rein formaler, miteinander konsistenter und voneinander independenter Grundsätze; die systematisch Deduktion liefert rein logisch, d.i. rein nach dem Prinzip vom Widerspruch, die abhängigen Sätze und damit den Gesamtinbegriff von Sätzen, die zu der definierten Theorie gehören. Das Objektgebiet aber ist durch die Axiome in dem Sinn definiert, daß es umgrenzt ist als irgendeine Sphäre von Objekten überhaupt, gleichgültig ob realen oder idealen, für welche Grundsätze solcher und solcher Formen gelten. Ein so definiertes Objektgebiet nennen wir eine bestimmte, aber formal definierte Mannigfaltigkeit” (Schuhmann and Schuhmann 2001, p. 91).
“Es sei ein Gebiet von Objekten gegeben, in welchem durch die besondere Natur der Objekte Verknüpfungs- und Beziehungsformen bestimmt sind, die sich in einem gewissen Axiomensystem A aussprechen. Aufgrund dieses Systems, also aufgrund der besonderen Natur der Objekte, haben gewisse Verknüpfungsformen keine reale Bedeutung, d.h. es sind widersinnige Verknüpfungsformen. Mit welchem Recht darf das Widersinnige rechnerisch verwertet, mit welchem Rechte kann also das Widersinnige im deduktiven Denken verwendet werden, als ob es Einstimmiges wäre? Wie ist es zu erklären, daß sich mit dem Widersinnigen nach Regeln operieren läßt und daß, wenn das Widersinnige aus den Sätzen herausfällt, die gewonnenen Sätze richtig sin?“ (Schuhmann and Schuhmann 2001, p. 93)
One considered possibility is a mistake in the transcription of Husserl’s shorthand and that he actually means ‘Zuordnungsaxiome’, which Cantor discusses in the Beiträge. However, Husserl’s notation is rather clear on this point as Thomas Vongehr of Husserl Archive Leuven kindly showed to me: Husserl writes ‘Zusatzaxiome,’ not ‘Zuordnungsaxiome.’
“Relativ definit ist ein Axiomensystem, wenn es zwar für sein Existentialgebiet keine Axiome mehr zuläßt, aber es zuläßt, daß für ein weiteres Gebiet dieselben und dann natürlich auch neue Axiome gelten. Neue Axiome, denn die bloß alten Axiome bestimmen ja nur das alte Gebiet. Relativ definit ist die Sphäre der ganzen, der gebrochenen Zahlen, der rationalen Zahlen, ebenso der diskreten Doppelreihenzahlen (komplexen Zahlen). Absolut definit nenne ich eine Mannigfaltigkeit, wenn es keine andere Mannigfaltigkeit gibt, welche dieselben Axiome hat wie sie (alle zusammen). Kontinuierliche Zahlenreihe, kontinuierliche Doppelzahlenreihe“ (Schuhmann and Schuhmann 2001, p. 102).
Husserl speaks generally of axiom systems. The example of Dedekind–Peano Axioms is mine. It should be noted that Husserl did not refer to Peano. However, Husserl was aware of Dedekind’s “Was sind und was soll die Zahlen” (1888).
,,Die natürlichen Zahlen sind, was sie sind, nur durch die Definitionen. Da die Definitionen die Zahlen eindeutig bestimmen (vermöge der Axiome), so kann eine Zahl oder Zahlengruppe zwar unendlich viele Eigenschaften haben, aber keine, die nicht in den Definitionen und Axiomen gründet und durch sie bestimmt ist. Es wäre ein Widerspruch gegen die Bestimmtheit der natürlichen Zahlen, wenn man Eigenschaften zählen wollte, die nicht durch die Definitionen beschlossen sind: Ja, das ist die eigentümliche Eigenschaft der natürlichen Zahlen, daß sie in diesem Sinn “bestimmt” sind. Nicht nur sind es überhaupt eindeutig bestimmte Objekte des Gebietes, sondern so bestimmte, daß sie keine andere Bestimmung erfahren können, d.h. daß für sie, die durch die Axiome so festgelegt sind, keine Eigenschaft mehr axiomatisch neu hinzugefügt werden kann. Das aber muß bewiesen werden.“ (Schuhmann and Schuhmann 2001, p. 115)
Centrone (2010) defends an interpretation of relative definiteness as syntactic completeness and absolute definiteness as categoricity (2010, pp. 149–213). The present approach is in agreement with her account of absolute definiteness, but holds that also the former, relative definiteness should be understood as categoricity. Centrone’s motivation for her interpretation seems to follow from Centrone’s understanding of the impossibility of adding new axioms as a kind of maximality, which she thinks corresponds to syntactic completeness: “As to the impossibility, on pain of inconsistency, of adding new axioms while preserving the independence of the system, this is a property which exactly corresponds—as is easily seen—to the property nowadays known as maximality of (sometimes) saturatedness of a formal system: informally speaking, a formal system T is maximal when it proves all that can be proved, on pain of inconsistency; that is, formally, when for each closed formula \({\upalpha }\) of the language of the theory it holds that if \({\upalpha }\) is not derivable from T then the system \(\hbox {T}+{\upalpha }\) is inconsistent” (2010, p. 169). This is precisely where I disagree with Centrone’s approach. She ignores Husserl’s attempt at a full and unambiguous characterization, which aims at capturing the domain purely and uniquely. True, Husserl thought that from such full determinability syntactic completeness follows and sometimes he even equates the two. But still, his intention to characterize the domain maximally cannot be reduced away when interpreting the passage. Indeed, for this reason maximal expressibility is prior to syntactic completeness: it is understandable that one infers the latter from the former, but from syntactic completeness one cannot derive Husserl’s goal to fix the “Existentialgebiet” unambiguously. In Husserl’s formal mathematics the non-extendibility of the axiom system shows that they are maximally determined and hence unique. Centrone analyzes the relative definiteness as syntactic completeness but so that the domains of the syntactically complete theory are structurally very similar (2010, p. 178). It is little unclear to what she refers to, but it seems that she means second-order equivalence (2010, p. 194, 199). This is an interesting analysis of Husserl’s view of definiteness, but to me it seems that if Husserl’s philosophical intentions are taken seriously, it is more straightforward to think that he aimed at categoricity from which he thought syntactic completeness follows. Only after one has analyzed a domain with certain axioms, can one examine what follows from the axioms. Whereas Centrone thinks that the essence of mathematics to Husserl is primarily about proving theorems, I find Husserl’s primary intentions to be in capturing the pure structures. That Centrone ignores Husserl’s concern with the domain has been pointed out before by Mark van Atten in his review of her book (2012, p. 375).
These three senses of completeness are mentioned in connection of Husserl in the notes of Charles Parsons‘ seminar on structuralism given at Harvard in 2003. I have had a privilege to look at these incredibly rich and interesting notes, but unfortunately only after having first submitted this paper.
”Sie ist dadurch charakterisiert, daß eine endliche Anzahl, gegebenenfalls aus dem Wesen des jeweiligen Gebietes zu schöpfender Begriffe und Sätze die Gesamtheit aller möglichen Gestaltungen des Gebietes in der Weise rein analytischer Notwendigkeit vollständig und eindeutig bestimmt, so daß also in ihm prinzipiell nichts mehr offen bleibt” (§72).
”Jeder aus den ausgezeichneten axiomatischen Begriffen, nach welchen logischen Formen immer zu bildende Satz ist entweder eine pure formallogische Folge der Axiome, oder eine ebensolche Widerfolge, d.h. den Axiomen formal widersprechend; so daß dann das kontradiktorische Gegenteil eine formallogische Folge der Axiome wäre. In einer mathematisch-definiten Mannigfaltigkeit sind die Begriffe ,wahr‘ und ,formalogische Folge der Axiome‘ äquivalent, und ebenso die Begriffe ,falsch‘ und ,formallogische Widerfolge der Axiome“‘ (§72).
”Aus dem bestimmten Gegenstandsgebiet räumlicher Gegebenheiten wird die Form eines Gebietes, oder wie der Mathematiker sagt, eine Mannigfaltigkeit. Es ist nicht schlechthin eine Mannigfaltigkeit überhaupt, was so viel wäre wie eine Menge überhaupt, auch nicht die Form ,unendliche Menge überhaupt‘, sondern es ist eine Menge, die nur ihre Besonderheit darin hat, daß sie in leer-formaler Allgemeinheit gedacht ist als ,ein‘ Gebiet, das bestimmt sei durch den vollständigen Inbegriff Euklidischer Postulatformen, also in einer deduktiven Disziplin von der aus der Euklidischen Raumgeometrie durch jene Formalisierung hergeleiteten Form“ (§29).
“Natürlich haben alle sachhaltig konkret vorzulegenden Mannigfaltigkeiten, deren Axiomensysteme sich bei der Formalisierung als äquiform herausstellen, dieselbe deduktive Wissenschaftsform gemein, sie sind in Beziehung auf sie selbst äquiform” (§31).
”jeder aus den in diesem auftretenden Begriffen (Begriffsformen natürlich) rein-logisch-grammatisch zu konstruierende Satz (Satzform) entweder ,wahr‘, nämlich eine analytische (rein deduktive) Konsequenz der Axiome, oder ,falsch‘ ist, nämlich ein analytischer Wiedrspruch: tertium non datur“ (§31).
References
Cantor, G. (1895). Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1). Mathematische Annalen, 46, 481–512. doi:10.1007/bf02124929.
Centrone, S. (2010). Logic and philosophy of mathematics in the early Husserl Synthese library (Vol. 345). Dordrecht: Springer.
Da Silva, J. J. (2000). Husserl’s tow notions of completeness, Husserl and Hilbert on completeness and imaginary elements in mathematics. Synthese, 125, 417–438.
da Silva, J. J. (2016). Husserl and Hilbert on completeness, still. Synthese, 193, 1925–1947.
Ewald, W. (1996). From Kant to Hilbert: A source book in the foundations of mathematics (Vol. II). Oxford: Clarendon Press.
Gutzmer, A. (1902). Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Leipzig: Druck und Verlag von B. G. Teubner.
Hartimo, M. (2007). Towards completeness: Husserl on theories of manifolds 1890–1901. Synthese, 156, 281–310.
Hartimo, M., & Okada, M. (2016). Syntactic reduction in Husserl’s early phenomenology of arithmetic. Synthese, 193(3), 937–969.
Hill, C. O. (1995). Husserl and Hilbert on completeness. In Hintikka (Ed.), From Dedekind to Gödel, synthese library (Vol. 251). Dordrecht: Kluwer.
Hintikka, J. (1998). The principles of mathematics revisited. Cambridge, UK: Cambridge University Press. [1996].
Husserl, E. (1950). Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie. Erstes Buch. Allgemeine Einführung in die reine Phänomenologie. Husserliana Band III. Herausgegeben von Walter Biemel. Haag: Martinus Nijhoff. English translation: Ideas pertaining to a pure phenomenology and to a phenomenological philosophy. First book. General Introduction to a Pure Phenomenology. The Hague, Boston, Lancaster: Martinus Nijhoff (1983).
Husserl, E. (1970). Philosophie der Arithmetik. Mit ergänzenden Texten (1890–1901). Edited by Lothar Eley. Den Haag: Martinus Nijhoff.
Husserl, E. (1974). Formale and transzendentale Logik. Versuch einer Kritik der logischen Vernunft. Husserliana Band 17. Edited by Paul Janssen. Martinus Nijhoff, The Hague, Netherlands 1974. English translation: Formal and Transcendental Logic, transl. by Dorion Cairns. Martinus Nijhoff, The Hague. 1969
Husserl, E. (1975). Logische Untersuchungen. Erster Band. Prolegomena zur Reinen Logik. Husserliana Band XVIII. Herausgegeben von Elmar Holenstein. Den Haag. Martinus Nijhoff. English translation: Logical Investigations. Prolegomena to pure logic, transl. by J. N. Findlay. London and New York: Routledge [1970], 2001, 1-161.
Husserl, E. (1976). Die Krisis der Europäischen Wissenschaften und die Transzendentale Phänomenologie. Eine Einleitung in die phänomenologische Philosophie. Herausgegeben von Walter Biemel. Husserliana Band VI. Den Haag: Martinus Nijhoff. English translation: The Crisis of European Sciences and Transcendental Phenomenology. An Introduction to Phenomenological Philosophy. Translated by David Carr. Evanston: Northwestern University Press, 1970.
Husserl, E. (1994). Briefwechsel. Band I, Die Brentanoschule. Dordrecht, Boston, London: Kluwer: Herausgegeben von Karl Schuhmann.
Husserl, E. (2002). Logische Untersuchungen. Ergänzungsband. Erster Teil. Entwürfe zur Umarbeitung der VI. Untersuchung ud zur Vorree für die Neuauflage der Logischen Untersuchungen (Sommer 1913). Herausgegeben von Ullrich Melle. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers.
Husserl, E. (2003). Philosophy of arithmetic. Transl. by Dallas Willard. Dordrecht: Kluwer.
Majer, U. (1997). Husserl and Hilbert on completeness: A neglected chapter in early twentieth century foundations of mathematics. Synthese, 110, 37–56.
Okada, M. (2013). Husserl and Hilbert on Completeness and Husserl’s Term Rewrite-based Theory of Multiplicity. Invited paper, 24th International Conference on Rewriting Techniques and Applications (RTA’13) (pp. 4–19). Edited by Femke van Raamsdonk. The Netherlands: Eindhoven.
Schuhmann, E., & Schuhmann, K. (2001). Husserls Manuskripte zu seinem Göttinger Doppelvortrag von 1901. Husserl Studies, 17, 82–123.
Schuhmann, K. (1977). Husserl-Chronik. Denk- und Lebensweg Edmund Husserls. Den Haag: Martinus Nijhoff.
Shapiro, S. (1997). Philosophy of mathematics: Structure and ontology. Oxford: Oxford University Press.
Tennant, Neil. (2000). Deductive versus expressive power: A pre-Gödelian predicament. The Journal of Philosophy, 97(5), 257–277.
van Atten, M. (2012). Stefania Centrone, logic and the philosophy of mathematics in the Early Husserl. The New Yearbook for Phenomenology and Phenomenological Philosophy, XII, 370–376.
Acknowledgements
I greatly acknowledge the support of Centre for Advanced Study in Oslo, Norway that funded and hosted our research project “Disclosing the Fabric of Reality—The Possibility of Metaphysics in the Age of Science” during the academic year of 2105/16, when the present article was written. Special thanks are due to the other members of the project, especially Frode Kjosavik and Øystein Linnebo. I also want to thank the support of the project “Conceptual Engineering” (250654) funded by The Research Council of Norway.
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Hartimo, M. Husserl on completeness, definitely. Synthese 195, 1509–1527 (2018). https://doi.org/10.1007/s11229-016-1278-7
Received:
Accepted:
Published:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/s11229-016-1278-7