Abstract
Let \(\Delta = \sum _{m=0}^\infty q^{(2m+1)^2} \in \mathbf {F}_2[[q]]\) be the reduction mod 2 of the \(\Delta \) series. A modular form of level 1, \(f=\sum _{n\geqslant 0} c(n) \,q^n\), with integer coefficients, is congruent modulo \(2\) to a polynomial in \(\Delta \). Let us set \(W_f(x)=\sum _{n\leqslant x,\ c(n)\text { odd }} 1\), the number of odd Fourier coefficients of \(f\) of index \(\leqslant x\). The order of magnitude of \(W_f(x)\) (for \(x\rightarrow \infty \)) has been determined by Serre in the seventies. Here, we give an asymptotic equivalent for \(W_f(x)\). Let \(p(n)\) be the partition function and \(A_0(x)\) (resp. \(A_1(x)\)) be the number of \(n\leqslant x\) such that \(p(n)\) is even (resp. odd). In the preceding papers, the second-named author has shown that \(A_0(x)\geqslant 0.28 \sqrt{x\;\log \log x}\) for \(x\geqslant 3\) and \(A_1(x)>\frac{4.57 \sqrt{x}}{\log x}\) for \(x\geqslant 7\). Here, it is proved that \(A_0(x)\geqslant 0.069 \sqrt{x}\;\log \log x\) holds for \(x>1\) and that \(A_1(x) \geqslant \frac{0.037 \sqrt{x}}{(\log x)^{7/8}}\) holds for \(x\geqslant 2\). The main tools used to prove these results are the determination of the order of nilpotence of a modular form of level-\(1\) modulo \(2\), and of the structure of the space of those modular forms as a module over the Hecke algebra, which have been given in a recent work of Serre and the second-named author.
Résumé
Soit \(\Delta = \sum _{m=0}^\infty q^{(2m+1)^2} \in \mathbf {F}_2[[q]]\) la réduction modulo 2 de la fonction \(\Delta \). Une forme modulaire de niveau \(1\), \(f=\sum _{n\geqslant 0} c(n) \,q^n\), à coefficients entiers, est congrue modulo \(2\) à un polynôme en \(\Delta \). Soit \(W_f(x)=\sum _{n\leqslant x,\ c(n)\text { impair }} 1\) le nombre de coefficients de Fourier impairs de \(f\) d’indice \(\leqslant x\). L’ordre de grandeur de \(W_f(x)\) a été déterminé par Serre dans les années 70. Nous donnons ici un équivalent de \(W_f(x)\). Soit \(p(n)\) la fonction de partition et \(A_0(x)\) (resp. \(A_1(x)\)) le nombre d’entiers \(n \leqslant x\) tels que \(p(n)\) est pair (resp. impair). Dans des articles antérieurs, J.-L. Nicolas a montré que \(A_0(x)\geqslant 0.28 \sqrt{x\;\log \log x}\) pour \(x\geqslant 3\) et que \(A_1(x)>\frac{4.57 \sqrt{x}}{\log x}\) pour \(x\geqslant 7\). On prouve ici que \(A_0(x)\geqslant 0.069 \sqrt{x}\;\log \log x\) pour \(x>1\) et que \(A_1(x) \geqslant \frac{0.037 \sqrt{x}}{(\log x)^{7/8}}\) pour \(x\geqslant 2\). Les principaux outils utilisés dans la preuve de ces résultats sont la détermination de l’ordre de nilpotence d’une forme modulaire de niveau 1 modulo 2, et de la structure de l’espace de ces formes modulaires en tant que module sur l’algèbre de Hecke, obtenus dans un travail récent de J.-L. Nicolas et J.-P. Serre.
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Notes
Numerical computations concerning the GRH. PhD Thesis, http://arxiv.org/abs/1305.3087
Dont voici une preuve: si \(|t|\geqslant 1/2\), \(\log (1+t)=t-t^2/2+\sum _{n \geqslant 3} (-1)^{n+1} t^n/n \geqslant t-t^2/2 - \frac{1}{3}|t^3| \sum _{n \geqslant 0} |t|^n \geqslant t-t^2/2 - \frac{2}{3}|t^3| \geqslant t-t^2/2-t^2/3 \geqslant t-t^2\).
Cette méthode consistant à séparer les \(n \in N_{u,v}\) entre ceux qui ont un facteur premier supérieur à \(x^{1/\log \log x}\) et ceux qui n’en ont pas a été expliquée par Kannan Soundararajan à Bellaïche, qui l’en remercie ici.
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J. Bellaïche recherche partiellement financée par la NSF, Grant DMS 1101615. J.-L. Nicolas recherche partiellement financée par le CNRS, Institut Camille Jordan, UMR 5208.
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Bellaïche, J., Nicolas, JL. Parité des coefficients de formes modulaires. Ramanujan J 40, 1–44 (2016). https://doi.org/10.1007/s11139-014-9645-9
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DOI: https://doi.org/10.1007/s11139-014-9645-9
Keywords
- Modular forms modulo \(2\)
- Hecke operators
- Order of nilpotence
- Selberg–Delange’s formula
- Partition function
Mots-clés
- Formes modulaires modulo 2
- Opérateurs de Hecke
- Ordre de nilpotence
- Formule de Selberg-Delange
- Fonction de partition