Häufigkeiten bei Kettenbrüchen und transzendente Zahlen

Zusammenfassung

Dieser Artikel bietet einen Einblick in die asymptotische Häufigkeit $H(m,d)$ des Auftretens der Zahlen $k\equiv d$ mod $m$ in der Kettenbruchentwicklung fast aller Zahlen $x\in[0,1)$. Im Fall von $m=4$ etwa ist $H(4,1)=1/2$, während $H(4,2)$, $H(4,3)$ und $H(4,4)$ irrationale Zahlen sind. Man darf vermuten, dass $H(m,d)$ in der Regel eine transzendente Zahl ist. Wir zeigen, dass dies für etwa die Hälfte der Zahlen $d\in\{1,\ldots,m\}$ der Fall sein muss. Weiters werden rationale Werte für gewisse Kombinationen von Restklassen vorgestellt wie $H(6,2)+H(6,3)=1/3$ oder $H(8,1)+H(8,2)+H(8,3)=3/4$, sowie weitere bemerkenswerte Relationen zwischen solchen Häufigkeiten.