Abstract
A Lax operator algebra is constructed for an arbitrary semi-simple Lie algebra over ℂ equipped with a ℤ-grading, and arbitrary compact Riemann surface with marked points. In this set-up, a treatment of almost graded structures, and classification of the central extensions of Lax operator algebras are given. A relation to the earlier approach based on the Tyurin parameters is established.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Similar content being viewed by others
References
I. M. Krichever, Vector bundles and Lax equations on algebraic curves, Comm. Math. Phys. 229 (2002), 229–269.
И. М. Кричевер, С. П. Новиков, Алгебры типа Вирасоро, римановы поверхности и структуры теории солитонов, Функц. анализ. и его прил. 21 (1987), вьш 2, 46–63. Engl. transl.: I. M. Krichever, S. P. Novikov, Algebras of Virasoro type, Riemann surfaces and structures of the theory of solitons, Funct. Anal. Appl. 21 (1987), no. 2, 126–142.
И. М. Кричевер, С. П. Новиков, Голоморфные расслоения и коммутирующие разностные операторы. Двухточечные конструкции, УМН 55 (2000), вьш. 3(333), 181–182. Engl. transl.: I. M. Krichever, S. P. Novikov, Holomorphic bundles and commuting difference operators. Two-point constructions, Russ. Math. Surv. 55 (2000), no. 3, 586–588.
И. М. Кричевер, О. К. Шейнман, Алгебры операторов Лакса, Функц. анализ и его прил. 41 (2007), вьш. 4, 46–59. Engl. transl.: I. M. Krichever, O. K. Sheinman, Lax operator algebras, Funct. Anal. Appl. 41 (2007), no. 4, 284–294.
M. Schlichenmaier, Krichever-Novikov algebras for more than two points, Letters in Math. Physics 19 (1990), 151–165.
M. Schlichenmaier, Central extensions and semi-infinite wedge representations for more than two points, Letters in Math. Physics 20 (1990), 33–46.
М. Шлихенмайер, Многоточечные алгебры операторов Лакса. Почти градуированная структура и центральные расширения, Мат. сб 205 (2014), no. 5, 117–160. Engl. transl.: M. Schlichenmaier, Multipoint Lax operator algebras: almost-graded structure and central extensions, Sbornik: Math. 205 (2014), no. 5, 722–762.
M. Schlichenmaier, Krichever–Novikov Type Algebras. Theory and Applications, De Gruyter Studies in Mathematics, Vol. 53, Walter de Gruyter, Berlin, 2014.
М. Шлихенмайер, О. К. Шейнман, Центральные расширения алгебр операторов Лакса, УМН 63 (2008), вьш. 4(382), 131–172. Engl. transl.: M. Schlichenmaier, O. K. Sheinman, Central extensions of Lax operator algebras, Russ. Math. Surv. 63 (2008), no. 4, 727–766.
O. K. Sheinman, Current Algebras on Riemann Surfaces, De Gruyter Expositions in Mathematics, Vol. 58, Walter de Gruyter, Berlin, 2012.
О. К. Шейнман, Алгебры операторов Лакса типа G2, Докл. Наук, Росс. Акад. Наук 455 (2014), no. 1, 23–25. Engl. transl.: O. K. Sheinman, O.K. Lax operator algebras of type G2, Doklady Math. 89 (2014), no. 2, 151–153.
А. Н. Тюрин, Классификация векторных расслоений над алгебраической кривой произвольного рода, Изв. АН СССР, Сер. мат. 29 (1965), вьш. 3, 657–688. Engl. transl. A. N. Tyurin, Classification of vector bundles over an algebraic curve of arbitrary genus, Amer. Math. Soc., Transl. II Ser. 73 (1968), 196–211.
Э. Б. Винберг, В. В. Горбацевич, А. Л Онишик, Строение групп и алгебр Ли, Итоги науи и теxн., Соврем. пробл. матем., Фунд. направл., том 41 ВИНИТИ, М., 1990. Engl. transl.: A. L. Onischik, E. B. Vinberg, V. V. Gorbatsevich, Structure of Lie groups and Lie algebras, in: Lie Groups and Lie Algebras III, Encyclopaedia of Math. Sci., Vol. 41, Springer-Verlag, Berlin.
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Rights and permissions
About this article
Cite this article
SHEINMAN, O.K. LAX OPERATOR ALGEBRAS AND GRADINGS ON SEMI-SIMPLE LIE ALGEBRAS. Transformation Groups 21, 181–196 (2016). https://doi.org/10.1007/s00031-015-9340-y
Published:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/s00031-015-9340-y