Zusammenfassung
Für ein nicht-lineares Modell, die logistische Wachstumsfunktion, werden Parameterschätzungen berechnet mit Hilfe eines wirksamen Algorithmus. Weiterhin werden die von Beale vorgeschlagenen Maßstäbe für Nichtlinearität angewendet, um zu entscheiden, wann die Konfidenzbereiche der Parameter und die Varianz der Voraussagefunktion eines linearen Modells als eine Annäherung gebraucht werden kann für die eines nicht-linearen Modells.
In manchen Fällen kann eine geeignete Parametertransformation angewendet werden, um die Resultate des linearen Modells auf eine zuverlässige Weise als Annäherung zu gebrauchen.
Summary
For a non-linear model, the logistic growth function, an efficient algorithm is derived to calculate the least squares estimates. With the help of Beale’s measures of non-linearity we can decide when the confidence regions of the parameters and the variance of the prediction function of the linear model can be used as an approximation for those of the non-linear model. Further it is shown that a parameter transformation is sometimes be helpful in those matters.
Résumé
Pour un modèle non-linéaire, le modèle exponentiel logistique, nous avons dérivé un algorithme efficace pour calculer les estimateurs des moindres carrés. Les mesures de non-linéarité sont employées pour decider si les régions de confiance des paramètres et la variance de la fonction predictive du modèle linéaire, sont utilisables comme approximations de ces variables dans le modèle non-linéaire.
Nous demontrons que dans certains cas, où les résultats du modèle linéaire ne sont pas utilisables comme approximations, il est parfois possible de dériver une région de confiance pour un vecteur des paramètres transformés.
Резюме
Для нелинейной модели, логистической функции роста, вычисляются параметрические оценки при помоши действенного алгоритма. Жатем применяются предложенные Билем меры для нелинейности чтобы рещить, яогда доверительные сферы параметров и дисперсия функции прогноза линейной модели может применятся как аппроксимация для тех нелинейной модели.
В некоторых случаях может производиться надлежашая параметрическая трансформация с целью надежного применения результатов линейной модели как аппроксимации.
References
Beale, E.M.L., "Confidence regions in non-linear estimation". Journal of the Royal Statistical Society, Series B, Vol. 22, 1960, nr 1, pp. 41–88.
Heuts, R.M.J. and W.H. Vandaele, Problemen rond nietlineaire regressie. Research memorandum 8, Tilburg Institute of Economics, July 1970.
Heuts, R.M.J. and P.J. Rens, A numerical comparison among some algorithms for unconstrained non-linear function minimization. Research memorandum 34, Tilburg Institute of Economics, January 1972.
Huzurbazar, V.S., "The likelihood equation, consistency and the maxima of the likelihood function". Annals of Eugenics Vol. 14, 1948, pp. 185–200.
Marquardt, D.W., "An algorithm for least-squares estimations of non-linear parameters". J. Soc. Indust. and Appl. Math., Vol. 11, 1963, nr 2, pp. 431–441.
Oliver, F.R., "Another generalization of the logistic growth function". Biometrika, Vol. 37, January 1969, nr 1, pp. 144–147.
Rao, C.R., Linear statistical inference and its applications. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1965.
Timmermans, A.J.M., Een vergelijkend numeriek onderzoek van vier methoden voor het minimaliseren van sommen van kwadraten van niet-lineaire functies. Term of probation report of the Technische Hogeschool Eindhoven, 1971.
Theil, H., Principles of Econometrics. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1971.
Wolfowitz, J., "Asymptotic efficiency of maximum likelihood estimators". Theory of probability and its applications, Vol. 10, 1965, pp. 247–250.
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Heuts, R.M.J. An efficient algorithm to calculate the least squares estimates of the parameters in the logistic growth function and the application of beale’s measures of non-linearity for this model. Statistische Hefte 15, 234–255 (1974). https://doi.org/10.1007/BF02922909
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02922909