Resolving hypotheses with successive chisquares

Zusammenfassung

Eine Menge von Hypothesen H₁,...,H_k bildet eine Hierarchie, wenn die jeweiligen Parameterräume vollständig enthalten, d.h. wenn w₁ ... w_k, und die Umfänge streng geordnet sind: D(w_l)>...>D(w_k). Die sicherste Hypothese aus einer gegebenen Hierarchie wird ausgewählt, indem man sukzessive Likelihood-Verhältnis-Chiquadrate Λ₁₂,...Λ_1k bildet und sie in umgekehrter Reihenfolge testet. Das erste nicht-signifikante Likelihood-Verhältnis-Chiquadrat, z.B. Λ_1j, 2≤j≤k, besagt, H_j sollte als die sicherste Hypothese aus der Hierarchie ausgewählt werden.

Sei die multinomiale Hypothese H₁, dann besitzen die Likelihood-Verhältnis-Chiquadrate und das Minimum-Diskriminanz-Chiquadrat die gleiche Form.

Unabhängigkeit der sukzessiven Chiquadrate wird dabei nicht vorausgesetzt.

Wir betrachten ein Beispiel mit vier 2xn_i Tabellen (n₁=3, n₂=12, n₃=14, n₄=12) und einer Hierarchie von sechs Hypothesen. Fünf Chiquadrate werden berechnet und eine der sechs Hypothesen wird als die sicherste ausgewählt.

Summary

A set of hypotheses H₁,...H_k form a hierarchy if their respective parameter spaces are completely imbedded. That is, if ω₁ ⊃...⊃ω_k, and the dimensions are strictly ordered: D(ω₁) >...>D(ω_k). The most tenable hypothesis from a given hierarchy is selected by forming successive likelihood ratio chisquares Λ₁₂,...Λ_1k and testing them in reverse order. The first non-significant LR Chisquare, say, Λ_1j, 2≤j≤k implies H_j should be selected as the most tenable from the hierarchy.

If the multinomial hypothesis is H₁, then the LR Chisquares and the minimum discriminant information statistic chisquare are identical in form.

Independence of successive chisquares is not required in the above procedure.

An example is given linking four 2xn_i tables (n₁=3, n₂=12, n₃=14, n₄=12) with a hierarchy of six hypotheses. Five chisquares are calculated and one of the six hypotheses is selected as most tenable.

Résumé

Un ensemble d’hypothèses H₁,...,H_k forme une hiérarchie si les espaces des paramètres respectifs sont complètement compris, c.-à.-d. si w₁ ... w_k, et si les dimensions sont strictement ordonnées: D(w₁) >...>D(w_k). L’hypothèse la plus soutenable dans une hiérarchie donnée est trouvée à l’aide de chi-carrés successifs des rapports de vraisemblance Λ₁₂, ..., Λ_1k, qui sont testés dans l’ordre inverse. Le premier chicarré non-significatif, par exemple Λ_1j, 2≤j≤k, implique le choix de H_j comme hypothèse la plus soutenable dans la hiérarchie.

Si l’hypothèse multinationale est H₁, les chi-carrés des rapports de vraisemblance et le chi-carré de la statistique discriminante minimum sont de forme identique.

Avec cela, l’indépendance des chi-carrés successifs n’est pas supposée.

Nous considérons un exemple liant quatre tableaux 2xn_i (n₁=3, n₂=12, n₃=14, n₄=12) avec une hiérarchie de six hypothèses. Cinq chi-carrés sont calculés et une des six hypothèses est choisie comme la plus soutenable.

Резюме

Множество гипотез H₁, ..., H_k составляет иерархию, если соответствуюшие параметпические пространства вполне включены, т. е. если w₁⊃...⊃w_k, а размеры строго упорядочены: Д(w₁)>...>Д(w_k).

Составляя последовательные ляйклихуд-отнощени е-чиквадраты 1₁₂,...1_1k и проверяя их в обратном порядке выбирается из данной иерархии самая достоверная гипотеза. Первый незнаменательный ляйклихуд-отнощени е-чиквадрат, напр. J_1j, 2≦j≦k, обознача ет, что Н должна быть избрана из иерархии как самая достоверная гипотеза.

Если мультиномиальной гипотезой является H₁, то ляйклихуд-отнощени е-чиквадрат и минимум-дискриминан т-чиквадрат имеют ту же форму.

При Этом не предполагается независимость последовательных чиквадратов.

Рассматриваем один пример с четырьмя 2×n_i таблицами (n₁=3, n₂=12, n₃=14, n₄=12) и одной иерархией, состяшей из щести гипотез. Пять чиквадратов исчисляется, а одна из щести гипотез избирается как самая достоверная гипотеза.