Eine Verallgemeinerung von Newton-Interpolation und Neville-Aitken-Algorithmus und deren Anwendung auf die Richardson-Extrapolation

Zusammenfassung

Die bekannten Formen der Polynominterpolation vonNewton undNeville-Aitken werden verallgemeinert. Es ergeben sich dabei Interpolations-operatoren, die bezüglich der zu interpolierenden Funktion linear sind. Zuerst wird die Newton-Interpolation verallgemeinert und zur Richardson-Extrapolation verwendet. Sodann wird eine verallgemeinerte Fassung der Newton-Interpolation unter Einschluß erster Ableitungen der zu interpolierenden Funktion angegeben, die für den Spezialfall der Polynominterpolation in das Newtonsche Interpolationspolynom mit doppelten Argumenten in den dividierten Differenzen übergeht. Schließlich wird der Interpolationsalgorithmus vonAitken undNeville in analoger Weise verallgemeinert und ebenfalls zur Richardson-Extrapolation benutzt. Im Gegensatz zur Polynominterpolation sind die allgemeinen Newton- und Neville-Aitken-Operatoren für dieselbe Funktion und dieselben Stützstellen nicht mehr identisch. Durch Spezialisierung erhält man aus den angegebenen Operatoren z. B. Polynominterpolation, trigonometrische und rationale Interpolation und Interpolation mit Exponentialfunktionen.

Abstract

The well-known cases of polynomial interpolation ofNewton andNeville-Aitken are generalized. The result are interpolating operators, which are linear concerning the function to be interpolated. Firstly the Newton-interpolation is generalized and then applied in Richardson-extrapolation. Then a generalized version of Newton-interpolation is given, including first derivatives of the function to be interpolated, which converts into the Newtonian interpolating polynomials with double arguments within the divided differences in the special case of polynomial interpolation. At last the interpolation-algorithms ofAitken andNeville are generalized in an analogous manner and are also applied in Richardson-extrapolation. In contrary to polynomial interpolation the general Newton- and Neville-Aitken-operators are not identical. By choosing special cases of the given operators one has e.g. polynomial, trigonometrical, rational, and exponential interpolations.