r-te Momente von Punktprozessen

Zusammenfassung

{X (t): t∈R ⁺} sei ein Punktprozeß,H (x) eine konvexe nicht-negative Funktion. Mit Hilfe der „bedingten Wahrscheinlichkeitenp _n (t) für genaun Ereignisse (Punkte) im Zeitpunkt punktt unter der Bedingung, daß im Zeitpunktt mindestens ein Ereignis eintritt”, wird eine Beziehung formuliert, die für die Existenz des ErwartungswertesE (H (X (t ₀))) notwendig ist. Hat der Punktprozeß unabhängige Zuwächse, und erfüllt die FunktionH (x) einige weitere Bedingungen, so ist die angegebene Beziehung auch hinreichend für die Existenz dieses Erwartungswertes. Für Punktprozesse mit unabhängigen Zuwächsen ergibt sich als unmittelbare Anwendung dieser Aussagen eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz vonE X (t ₀)^r für reellesr≥1.

Summary

Let {X (t): t∈R ⁺} be a point process andH (x) a convex non-negative function. Using “the conditional probabilitiesp _n (t) thatn events (points) occur at timet given that at least one event occurs att” a condition is formulated which is necessary for the existence ofE (H (X (t ₀))). This condition is sufficient, too, if the point process has independent increments and the functionH (x) fulfils some further conditions. Using these statements one gets a necessary and sufficient condition for the existence ofE X (t ₀)^r for realr≥1.