This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Literatur
Ausführlichere und sehr lesenswerte Darlegungen zu diesen Fragen enthält der Aufsatz von D. Hilbert, Über das Unendliche, Math. Annalen95 (1926), S. 161–190.
Vgl. hierzu auch. H. Weyl, Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik, Math. Zeitschr.10 (1921), S. 39–79; und A. Fraenkel, Zehn Vorlesungen über die Grundlegung der Mengenlehre (oder auch die entsprechenden Abschnitte in Fraenkels Lehrbuch der Mengenlehre).
K. Gödel, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, Monatsh., f. Math. u. Phys.38 (1931), S. 173–198.
W. Ackermann, Begrundung des “tertium non datur” mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit, Math. Ann.93 (1925), S. 1–36; J. von Neumann, Zur Hilbertschen, Beweistheorie. Math. Zeitschr.26 (1927), S. 1–46; J. Herbrand, Sur la non-contradiction de l'Arithmétique, Journ. f. d. reine u. angew. Math.166 (1932), S. 1–8; G. Gentzen, Untersuchungen über das logische Schließen, Math. Zeitschr.39 (1935), S. 176–210, 405–431.
Es gibt schon verschiedene solche Formalisierungen, an die sich die hier vorgeführte mehr oder weniger anschließt.
Da die Bezeichnung, “Formel” ganz allgemein fur formalisierte Aussagen gelten soll, wäre der hier erklärte Sonderfall richtiger etwa als “zahlentheoretische Formel” zu bezeichnen. Da in der vorliegenden Arbeit keine anderen “Formeln” auftreten, kann dieser Zusatz unterbleiben. Entsprechendes gilt für die Begriffe “Term”, “Funktionszeichen” usw.
Ich will nicht, wie es sonst in der formalen Logik üblich ist, eine solche Formel als “für beliebige eingesetzte Zahlen gültig” deuten, da in mathematischen Beweisen die freien Variablen in allgemeinerem Sinne benutzt werden; siehe etwa 4. 5 3. Man sollte hier, wie auch bei gebundenen ∃ ·Variablen, sinngemäßer von “Unbestimmten” als von “Variablen” sprechen, doch ist die Bezeichnung “Variable” nun einmal allgemein üblich geworden.
In meiner Arbeit «Untersuchungen über das logische Schließen» brauchte ich das Wort «Sequenz» in einer allgemeineren Bedeutung, die ich aber hier nicht benötige. Für Leser jener Arbeit sei ferner erwähnt, daß der hier entwickelte Schlußweisenformalismus im wesentlichen dem dortigen «KalkülNK» entspricht. Auch der «KalkülLK» eignet sich für den Widerspruchsfreiheitsbeweis. Dieser wird dann sogar teilweise einfacher, doch weniger «natürlich».
Siehe für die „Aussagenlogik” (&, ⋎⊃, ⇁): Hilbert-Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik, S. 33; für die „Prädikatenlogik” (∀, ∃ dazu): K. Godel, Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls, Monatsh. f. Math. u. Phys.37 (1930), S. 349–360. Die dort benutzten Formalisierungen der Schlußweisen lassen sich ohne besondere Schwierigkeiten als āquivalent mit der von mir gewāhlten erweisen. (Vgl. die Äquivalenzbeweise im V. Abschnitt meiner Arbeit „Untersuchungen über das logische Schließen”.)
Siehe W. Ackermann, Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen, Math. Annalen99 (1928), S. 118–133.
Ein Beweis für dieses «t-Eliminierbarkeitstheorem» findet sich in dem Buche: Hilbert-Bernays, Grundlagen der Mathematik1 (1934), S. 422–457.
——Vgl. die in Anm. 1). und 2) H. Weyl, Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik, Math. Zeitschr.10 (1921), S. 39–79; zitierten Arbeiten von Hilbert und Weyl.
Vgl. D. Hilbert, Über das Unendliche, Math. Annalen95 (1926), S. 161–190.
Vgl. A. Heyting, Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik, Sitzungsberichte d. Preuß. Akad. d. Wiss., phys.-math. Kl. (1930), S. 42–56.
K. Gödel, Zur intuitionistischen Arithmetik und Zahlentheorie, Ergebnisse eines math. Koll., Heft4 (1933), S. 34–38. —Das im Text genannte Ergebnis wurde etwas später, unabhängig von Gödel, auch von P. Bernays und mir gefunden.—Gödel ersetzt noch 532-1 durch 532-2, dies ist bei meinem Schlußregelnsystem nicht notwendig, weil ich keine Aussagenvariablen verwende.
Siehe etwa P. Bachmann, Die Elemente der Zahlentheorie, III, 10.
Ich könnte hier auch eine beliebige andere falsche Minimalformel verwenden.
Anmerkung bei de Korrektur: Die Nummern 14.1 bis 16. 11 sind im Februar 1936 an Stelle eines früheren Textes eingefügt worden.
Siehe auch K. Gödel, Über Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit, Ergebnisse eines math. Koll., Heft 3 (1932), S. 12–13.
Siehe P. Finsler, Formale Beweise und die Entscheidbarkeit, Math. Zeitschr. 25 (1926), S. 676–682, und die in Anm. 3) genannte Arbeit von K. Gödel.
Siehe die in der vorigen Anmerkung genannte Arbeit von P. Finsler.
Siche etwn: L. E. J. Brouwer, Intuitionistische Betrachtungen über den Formalismus, Sitzunguber. d. Preuß. Akad. d. Wiss., phys.-math. Kl. (1928), S. 48–52; und A. Heyting, Mathematische Grundlagenforschung—Intuitionismus—Beweistheorie, Ergebnisse d. Math. und ihrer Grenzgebiete3 (1935), Heft 4.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Gentzen, G. Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie. Math. Ann. 112, 493–565 (1936). https://doi.org/10.1007/BF01565428
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01565428