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Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche

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Literaturnachweis

  1. L. E. J. Brouwer, Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen71 (1911), S. 97–115.— H. Hopf, Abbildungsklassenn-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen96 (1926), S. 209–224.

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  2. Zyklus=geschlossener, d. h. unberandeter Komplex.

  3. L. E. J. Brouwer, On Looping Coefficients, Proc. Acad. Amsterdam15 (1912), S. 113–122.

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  4. Zur Einführung in die kombinatorische oder algebraische Topologie sei empfohlen: J. W. Alexander, Combinatorial Analysis Situs, Transact. Amer. Math. Soc.28 (1926), S. 301–329.

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  5. Über wesentliche und unwesentliche Abbildungen von Komplexen, Moskauer Mathematische Sammlung (z. Z. im Druck).

  6. Bezüglich der Umkehrungsabbildung ϕ vergleiche man auch den § 3 meiner Arbeit: „Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten”, Journal f. d. reine u. angew. Math. (Crelle)163 (1930), S. 71–88.

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  7. Man verifiziert diese Behauptung erst für ein einzelnes Simplex und beweist sie dann allgemein durch Addition mehrerer Simplexe.

  8. Siehe Nr. 5 und 6 der unter 4) zitierten Arbeit von Alexander.

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  9. Dieser Beweis ist dem Beweis der topologischen Invarianz des Abbildungsgrades analog: L. E. J. Brouwer, Über Jordansche Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen71, (1911), S. 320–327.

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  10. Diese Betrachtung, und somit der Beweis von IIc, ist die einzige Stelle in dieser Arbeit, an der benutzt wird, daßS 2 die Kugel und nicht eine beliebige orientierbare Fläche ist.

  11. Das System dieser Großkreise, die die Originalmengen der Punkte vonS 2 bilden, ist eine Cliffordsche Parallelenkongruenz; hierzu vgl. man F. Klein, Vorlesungen über Nichteuklidische Geometrie (Berlin 1928), S. 234; daß dort anstatt derS 3 der elliptische Raum betrachtet wird, macht keinen wesentlichen Unterschied.

  12. Einen Beweis dieser Tatsache (die übrigens ein Spezialfall von Satz IV ist), findet man in meiner unter 1). zitierten Arbeit.

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  13. Eine Darstellung der einfachsten topologischen Eigenschaften vonA 4 findet man im „Anhang II” der unter 8), zitierten Arbeit von van der Waerden.

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  14. § 5 der unter 6) „Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten”, Journal f. d. reine u. angew. Math. (Crelle)163 (1930), S. 71–88. zitierten Arbeit.

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Hopf, H. Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. Math. Ann. 104, 637–665 (1931). https://doi.org/10.1007/BF01457962

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