Literaturnachweis
L. E. J. Brouwer, Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen71 (1911), S. 97–115.— H. Hopf, Abbildungsklassenn-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen96 (1926), S. 209–224.
Zyklus=geschlossener, d. h. unberandeter Komplex.
L. E. J. Brouwer, On Looping Coefficients, Proc. Acad. Amsterdam15 (1912), S. 113–122.
Zur Einführung in die kombinatorische oder algebraische Topologie sei empfohlen: J. W. Alexander, Combinatorial Analysis Situs, Transact. Amer. Math. Soc.28 (1926), S. 301–329.
Über wesentliche und unwesentliche Abbildungen von Komplexen, Moskauer Mathematische Sammlung (z. Z. im Druck).
Bezüglich der Umkehrungsabbildung ϕ vergleiche man auch den § 3 meiner Arbeit: „Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten”, Journal f. d. reine u. angew. Math. (Crelle)163 (1930), S. 71–88.
Man verifiziert diese Behauptung erst für ein einzelnes Simplex und beweist sie dann allgemein durch Addition mehrerer Simplexe.
Siehe Nr. 5 und 6 der unter 4) zitierten Arbeit von Alexander.
Dieser Beweis ist dem Beweis der topologischen Invarianz des Abbildungsgrades analog: L. E. J. Brouwer, Über Jordansche Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen71, (1911), S. 320–327.
Diese Betrachtung, und somit der Beweis von IIc, ist die einzige Stelle in dieser Arbeit, an der benutzt wird, daßS 2 die Kugel und nicht eine beliebige orientierbare Fläche ist.
Das System dieser Großkreise, die die Originalmengen der Punkte vonS 2 bilden, ist eine Cliffordsche Parallelenkongruenz; hierzu vgl. man F. Klein, Vorlesungen über Nichteuklidische Geometrie (Berlin 1928), S. 234; daß dort anstatt derS 3 der elliptische Raum betrachtet wird, macht keinen wesentlichen Unterschied.
Einen Beweis dieser Tatsache (die übrigens ein Spezialfall von Satz IV ist), findet man in meiner unter 1). zitierten Arbeit.
Eine Darstellung der einfachsten topologischen Eigenschaften vonA 4 findet man im „Anhang II” der unter 8), zitierten Arbeit von van der Waerden.
§ 5 der unter 6) „Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten”, Journal f. d. reine u. angew. Math. (Crelle)163 (1930), S. 71–88. zitierten Arbeit.
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Hopf, H. Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. Math. Ann. 104, 637–665 (1931). https://doi.org/10.1007/BF01457962
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