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Über die Nullstellen der Zetafunktion

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Literatur

  1. Vgl. § 87 und § 89 meinesHandbuches der Lehre von der Verteilung der Primzahlem [Leipzig und Berlin, 1909].

  2. Vgl. § 89 desHandbuchs. Das genannte Verhalten fürx=1 von links und fürx=1/p m, von dem ich dort nicht explizit spreche, ergibt sich unmittelbar aus dem übrigen mit Hilfe der in der Fußnote zu S. 365 angegebenen Identität, weil\(\sum\limits_\varrho {\tfrac{1}{{|\varrho (1 - \varrho )|}}} \) konvergiert.

  3. Vgl. § 89 desHandbuchs; in meinen früheren Arbeiten war es noch nicht enthalten. Wenn ich auch a. a. O. nur von denx>1 rede, so lehrt doch die Identität in der Fußnote zu S. 365 daselbst, daß ich für alle Intervalle rechts von Null den im Text genannten Satz damit bewiesen habe.

  4. Vonv=1 rede ich bei (2) nicht, da dies nur dies nur die vorher genannten bekannten Sätze liefern würde; übrigens werden beiv=1 die bekannten Sätze über Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz durch das Folgende mitbewiesen, nur der bekannte Satz über ungleichmäßige Konvergenz nicht. Von denv<=0 rede ich bei keiner der drei Reihen wegen offenkundiger Divergenz. Vonv>1 rede ich bei keiner der drei Reihen wegen Trivialität des Problems; wegen der Konvergenz von\(\sum\limits_\varrho {\tfrac{1}{{|\varrho |^v }}} \) fürv>1 (Hadamard; vgl. S. 314 desHandbuchs) wäre ja jede der drei Reihen für allex>0 (absolut) konvergent und zwar für0<x<=x 1, wo0<x 1 ist, gleichmäßig konvergent. Aus allen diesen Gründen liegt selbstverständlich nur in der Untersuchung der Fälle0<v<=1 das Problem.

  5. Vgl. z. B. HadamardHandbuch, S. 337.

  6. Vgl. z. B. HadamardHandbuch, S. 336.

  7. Vgl. z. B. HadamardHandbuch, S. 334.

  8. Vgl. z. B. HadamardHandbuch, S. 337 und 339.

  9. Vgl. z. B. HadamardHandbuch, S. 337.

  10. Vgl. HadamardHandbuch, S. 367–368.

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Landau, E. Über die Nullstellen der Zetafunktion. Math. Ann. 71, 548–564 (1912). https://doi.org/10.1007/BF01456808

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