This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Literatur
H. Poincaré, Les fonctions analytiques de deux variables et la représentation conforme, Rend. Circ. Matem. Palermo23 (1907), pp. 185–220.
Über Abbildungen durch analytische Funktionen zwejer Veränderlicher, Math. Ann.83 (1921), S. 211–255.
Man weiß aus der Theorie der Funktionen einer Veränderlichen, daß diese Bedingung wirklich eine Beschränkung für die GebieteG bedeutet. So stellt z. B. die komplexe Zahlebene selbst, oder die Überlagerungsfläche der Riemannschen Flächen, die bei den elliptischen Integralen auftreten, Gebiete dar, die die verlangte Eigenschaft nicht besitzen. Die Riemannsche Fläche der elliptischen Modulfunktion ist dagegen das einfachste Beispiel eines Gebietes ohne Rand, das die betreffende Eigenschaft besitzt.
In einer wichtigen Arbeit hat Herr G. Julia die normalen Familien von analytischen Funktionen von mehreren Veränderlichen systematisch untersucht. [Sur les familles des fonctions analytiques de plusieurs variables, Acta Mathematica47 (1926). pp. 53–115.] Diese Arbeit hat mir, obgleich sie ganz andere Ziele verfolgt, die erste Anregung zu der vorliegenden Untersuchung gegeben.
G. Pick, Über eine Eigenschaft der konformen Abbildung kreisförmiger Bereiche, Math. Ann.77 (1916), S. 1–6.
Die Metrik, zu der wir gelangen werden, fällt im wesentlichen mit der Maßbestimmung zusammen, die die Herren G. Fubini und E. Study direkt aus der Hermiteschen Form (17) entnommen haben (G. Fubini, Sulle metriche definite da una forma Hermitiana, Istituto Veneto63, 2 (1904); E. Study, Kürzeste Wege im komplexen Gebiet, Math. Annalen60 (1905), S. 321–378, siehe besonders S. 325).
Poincaré a. a. O., S. 207. Die Gruppe hängt von acht reellen Parametern ab: in den Gleichungen (18) kommen nämlich acht komplexe Zahlen, also 16 reelle Parameter vor, und es bestehen zwischen diesen Parametern acht Bedingungsgleichungen, wenn man die drei letzten Gleichungen (18) in ihren reellen und ihren imaginären Bestandteil spaltet.
Es ist vielleicht nicht überflüssig zu bemerken, daß zwischen den Koeffizienten der analytischen Drehungen genau die Relationen bestehen, die besagen, daß die beiden komplexen Vektoren (a, a′) und (b, b′) in der Weise normiert sind, wie Herr Erhard Schmidt es für einen ganz anderen Zweck vorgeschlagen hat. (Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten. Rend. Circ. Matem. Palermo25 (1908), pp. 53–77.)
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Carathéodory, C. Über das Schwarzsche Lemma bei analytischen Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen. Math. Ann. 97, 76–98 (1927). https://doi.org/10.1007/BF01447861
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01447861