Skip to main content
SpringerLink
Log in

Typische Fehler bei der Addition und Subtraktion von Brüchen – Ein Review zu empirischen Fehleranalysen

Typical Errors for Fraction Addition and Subtraction—A Review of Empirical Error Analysis

  • Originalarbeit
  • Published:
Journal für Mathematik-Didaktik Aims and scope Submit manuscript

Zusammenfassung

Das Rechnen mit Brüchen bereitet vielen Schülern Probleme. Zahlreiche Studien haben bisher versucht, typische Fehler in diesem Bereich zu identifizieren, um die Probleme besser zu verstehen und Ansatzpunkte für Interventionen zu gewinnen. Die Bandbreite der eingesetzten Testaufgaben, der untersuchten Inhaltsbereiche (z.B. Erweitern, Addieren, Ordnen von Brüchen) und der gefunden Fehlertypen ist dabei sehr groß. Ziel dieses Reviews ist es, einen strukturierten Überblick über die beschriebenen typischen Fehler in existierenden Fehleranalysen für den Bereich Addition und Subtraktion gemeiner Brüche zu geben.

Abstract

Fraction tasks are challenging for many pupils. Investigating the sources of these challenges and the typical errors related to them is an essential prerequisite for developing instructions or interventions which foster the acquisition of knowledge and skills necessary for mastering fraction tasks. Thus, numerous studies have tried to identify and describe typical errors as well as their potential sources in the domain of fraction learning. These studies vary in several features, including the types of fraction test items, the fraction sub-domains (i.e., expanding, adding and/or ordering fractions), and the types of errors which are at the focus of interest. The purpose of this study is to provide a structured overview on the variety of fraction errors described in existing error analyses which address task requirements related to addition and subtraction of fractions.

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Log in via an institution

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Institutional subscriptions

Literatur

  • Behr, M. J., Lesh, R., Post, T. R., & Silver, E. A. (1983). Rational number concepts. In R. Lesh & M. Landau (Hrsg.), Acquisition of mathematical concepts and processes (S. 91–126). New York: Academic Press.

    Google Scholar 

  • Behr, M. J., Wachsmuth, I., & Post, T. R. (1985). Construct a sum: a measure of children’s understanding of fraction size. Journal for Research in Mathematics Education, 16(2), 120–131.

    Article  Google Scholar 

  • Behr, M. J., Wachsmuth, I., Post, T. R., & Lesh, R. (1984). Order and equivalence of rational numbers: a clinical teaching experiment. Journal for Research in Mathematics Education, 15(5), 323–341.

    Article  Google Scholar 

  • Berger, S. (2010). Lernen aus fremden Fehlern beim Bruchrechnen. Unveröffentlichte Diplomarbeit. Technische Universität Dresden.

  • Brizuela, B. M. (2005). Young children’s notations for fractions. Educational Studies in Mathematics, 62(3), 281–305.

    Article  Google Scholar 

  • Brown, G., & Quinn, R. J. (2006). Algebra students’ difficulty with fractions: an error analysis. Australian Mathematics Teacher, 62(4), 28–40.

    Google Scholar 

  • Brown, J. S., & VanLehn, K. (1980). Repair theory: a generative theory of bugs in procedural skills. Cognitive Science, 4(4), 379–426.

    Article  Google Scholar 

  • Brueckner, L. J., & Elwell, M. (1932). Reliability of diagnosis of error in multiplication of fractions. The Journal of Educational Research, 26(3), 175–185.

    Google Scholar 

  • Campanario, J. M. (2006). Using textbook errors to teach physics: examples of specific activities. European Journal of Physics, 27(4), 975–981.

    Article  Google Scholar 

  • Ciosek, M., Kubinova, M., Tichá, M., & Turnau, S. (2000). Bemerkungen zum Bruchrechenunterricht in Polen und in der Tschechischen Republik. Der Mathematikunterricht, 46(2), 59–67.

    Google Scholar 

  • Di Gennaro, M., Picciarelli, V., & Rienzi, M. T. (1990). The role of cognitive level, cognitive style and information processing abilities in children’s understanding of fractions as part-whole. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 21(5), 747–757.

    Article  Google Scholar 

  • Eichelmann, A., & Narciss, S. (2009). Tasks with typical errors—impact on achievement, motivation, and meta-cognition. Paper presented at the European association for research on learning and instruction junior pre-conference, Amsterdam 2009.

  • Eichelmann, A., Narciss, S., Faulhaber, A., & Melis, E. (2008). Analyzing computer-based fraction tasks on the basis of a two dimensional view of mathematics competencies. In J. Zumbach, N. Schwartz, T. Seufert, & L. Kester (Hrsg.), Beyond knowledge: the legacy of competence. Meaningful computer-based learning environments (S. 125–134). Dordrecht: Springer.

    Google Scholar 

  • Eichelmann, A., Narciss, S., Schnaubert, L., Melis, E., & Goguadze, G. (2011). Design und Evaluation von interaktiven webbasierten Bruchrechenaufgaben. In H. Rohland, A. Kienle, & S. Friedrich (Hrsg.), DeLFI 2011–Die 9. e-Learning Fachtagung Informatik, 5.–8. September in Dresden, GI-edition—Lecture notes in informatics (Bd. P-188, S. 31–42). Bonn: Köllen Verlag.

    Google Scholar 

  • Flade, L. (1976). Zur Entwicklung der Rechenfertigkeiten und zu einigen typischen Schülerfehlern. Mathematik in der Schule, 14(7/8), 371–376.

    Google Scholar 

  • Gerster, H.-D., & Grevsmühl, U. (1983). Diagnose individueller Schülerfehler beim Rechnen mit Brüchen. Pädagogische Welt, 37(11), 654–660.

    Google Scholar 

  • Gould, P. (2005). Year 6 students’ methods of comparing the size of fractions. In P. Clarkson, A. Downton, D. Gronn, M. Horne, A. McDonough, R. Pierce, & A. Roche (Hrsg.), Building connections: research, theory and practice. Proceedings of the annual conference of the mathematics education research group of Australasia (S. 393–400). Sydney: MERGA.

    Google Scholar 

  • Große, S., & Renkl, A. (2004). Learning from worked examples: what happens if errors are included? In P. Gerjets, J. Elen, R. Joiner, & P. Kirschner (Hrsg.), Instructional design for effective and enjoyable computer-supported learning (S. 356–364). Tübingen: Knowledge Media Research Centre.

    Google Scholar 

  • Hasemann, K. (1981). On difficulties with fractions. Educational Studies in Mathematics, 12(1), 71–87.

    Article  Google Scholar 

  • Hasemann, K. (1982). Modelle zur Beschreibung von Denkprozessen bei Schülern der Sekundarstufe 1. Osnabrücker Schriften zur Mathematik, 39, 1–13.

    Google Scholar 

  • Hasemann, K. (1985). Die Beschreibung von Schülerfehlern mit kognitionstheoretischen Modellen. Der Mathematikunterricht, 31(6), 6–15.

    Google Scholar 

  • Hasemann, K. (1986). Bruchvorstellungen und die Addition von Bruchzahlen. mathematik lehren, Heft 16, 16–19.

  • Hasemann, K. (1987). Alternative Begriffe der Schüler und die Rolle begrifflicher Konflikte im mathematischen Lernprozess. Der Mathematikunterricht, 33(1), 21–31.

    Google Scholar 

  • Hasemann, K., & Mangel, H.-P. (1997). Individuelle Denkprozesse. Ergebnisse der Erprobung eines Buchrechenlehrganges für das 6. Schuljahr. In Osnabrücker Schriften zur Mathematik, Reihe D, Heft 14. Universität Osnabrück, FB Mathematik/Informatik.

  • Hasemann, K., & Mangel, H.-P. (1999). Individuelle Denkprozesse von Schülerinnen und Schülern bei der Einführung der Bruchrechnung im 6. Schuljahr. Journal für Mathematik-Didaktik, 20(2/3), 138–165.

    Google Scholar 

  • Hennecke, M. (2007). Fehlerdiagnostische Auswertung empirischer Studien in der Bruchrechnung. In Beiträge zum Mathematikunterricht – Vorträge auf der 41. Tagung für Didaktik der Mathematik vom 25.3. bis 30.3.2007 in Berlin (S. 195–198). Münster: WTM Verlag.

    Google Scholar 

  • Herden, G., & Pallack, A. (2000). Zusammenhänge zwischen verschiedenen Fehlerstrategien in der Bruchrechnung. Empirische Erhebung über 244 SchülerInnen der Klassen sieben von Gymnasien. Journal für Mathematik-Didaktik, 21(3/4), 259–279.

    Google Scholar 

  • Hiebert, J. (1985). Childrens knowledge of common and decimal fractions. Education and Urban Society, 17(4), 427–437.

    Article  Google Scholar 

  • Katzenbach, M. (2004). Dem Fehler auf der Spur – Kinder als Fehlerdetektive. Die Neue Schulpraxis, 74(12), 4–8.

    Google Scholar 

  • Kheong, F. H. (1988). Using the computer to diagnose students’ difficulties with fractions. Asia Pacific Journal of Education, 9(2), 43–51.

    Google Scholar 

  • Klauer, K. J. (1987). Kriteriumsorientierte Tests. Göttingen: Hogrefe.

    Google Scholar 

  • Körndle, H., Narciss, S., & Proske, A. (2004). Konstruktion interaktiver Lernaufgaben für die universitäre Lehre. In D. Carstensen & B. Barrios (Hrsg.), Campus 2004. Kommen die digitalen Medien an den Hochschulen in die Jahre? (S. 57–67). Münster: Waxmann.

    Google Scholar 

  • Lörcher, G. A. (1982). Diagnose von Schülerschwierigkeiten beim Bruchrechnen. Pädagogische Welt, 36(3), 172–180.

    Google Scholar 

  • Lorenz, H. (1996). Ist Bruchrechnung noch aktuell? Praxis Schule 5-10, 7(3), 17–21.

    Google Scholar 

  • Malle, G. (2004). Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. mathematik lehren, Heft 123, 4–8.

  • Malle, G., & Huber, S. (2004). Schülervorstellungen zu Bruchzahlen und deren Rechenoperationen. mathematik lehren, Heft 123, 20–22, 39–40.

  • Mathan, S. A., & Koedinger, K. R. (2005). Fostering the intelligent novice: learning from errors with metacognitive tutoring. Educational Psychologist, 40(4), 257–265.

    Article  Google Scholar 

  • McNamara, J., & Shaughnessy, M. M. (2010). Beyond pizzas and pies: 10 essential strategies for supporting fraction sense, grades 3–5. Sausalito: Math Solutions.

    Google Scholar 

  • McNamara, J., & Shaughnessy, M. M. (2011). Student errors: what can they tell us about what students DO understand? In MathSolutions (S. 39). www.mathsolutions.com/documents/StudentErrors_JM_MS_Article.pdf. Gesehen 15. August 2011.

    Google Scholar 

  • Melis, E. (2005). Design of erroneous examples for ActiveMath. In C.-K. Looi, G. McGalla, B. Bredeweg, & J. Breuker (Hrsg.), Artificial intelligence in education (S. 451–458). Amsterdam: IOS Press.

    Google Scholar 

  • Melis, E., & Narciss, S. (2006). Adaptives Tutorielles Feedback (AtuF): Gemeinschaftlicher Antrag auf Gewährung einer Sachbeihilfe. Unpublished document. Deutsches Forschungszentrum für Künstliche Intelligenz/Technische Universität Dresden.

  • Melis, E., Faulhaber, A., Eichelmann, A., & Narciss, S. (2008). Interoperable competencies characterizing learning objects in mathematics. In B. Woolf, et al. (Hrsg.), Lecture notes in computer science, Bb 5091: Intelligent tutoring system (S. 416–425). Berlin: Springer.

    Chapter  Google Scholar 

  • Misquitta, R. (2011). A review of literature: fraction instruction for struggling learners in mathematics. Learning Disabilities Research and Practice, 26(2), 109–119.

    Article  Google Scholar 

  • Morton, R. L. (1924). An analysis of pupilsérrors in fractions. Journal of Educational Research, 9(2), 117–125.

    Google Scholar 

  • Newstead, K., & Murray, H. (1998). Young students’ constructions of fractions. In A. Olivier & K. Newstead (Hrsg.), Proceedings of the twenty-second international conference for the psychology of mathematics education, Stellenbosch, South Africa (S. 295–302).

    Google Scholar 

  • Ni, Y., & Zhou, Y.-D. (2005). Teaching and learning fraction and rational numbers: the origins and implications of whole number bias. Educational Psychologist, 40(1), 27–52.

    Article  Google Scholar 

  • NMAP – National Mathematics Advisory Panel (2008). Foundations for success: the final report of the national mathematics advisory panel. Washington: US Department of Education.

    Google Scholar 

  • Nwana, H. S., & Coxhead, P. (1989). Fraction bugs: explanations, bug theories, and implications on intelligent tutoring systems. Cognitive Systems, 2(3), 275–289.

    Google Scholar 

  • OECD – Organization for Economic Cooperation and Development (2004). Learning for tomorrow’s world – first results from PISA (S. 2003). Paris: OECD.

    Google Scholar 

  • Oser, F., & Spychiger, M. (2005). Lernen ist schmerzhaft. Zur Theorie des Negativen Wissens und zur Praxis der Fehlerkultur. Weinheim: Beltz.

    Google Scholar 

  • Padberg, F. (1982). Über Schülerfehler im Bereich der Bruchrechnung. In Beiträge zum Mathematikunterricht: Vorträge auf der 16. Bundestagung für Didaktik der Mathematik vom 2.3. bis 5.3.1982 in Klagenfurt (S. 45–57). Franzbecker: Bad Salzdetfurth.

    Google Scholar 

  • Padberg, F. (1986). Über typische Schülerschwierigkeiten in der Bruchrechnung – Bestandsaufnahme und Konsequenzen. Der Mathematikunterricht, 32(3), 58–77.

    Google Scholar 

  • Padberg, F. (1995). Didaktik der Bruchrechnung: gemeine Brüche – Dezimalbrüche. 2 erw. Aufl. Heidelberg: Spektrum.

    Google Scholar 

  • Padberg, F. (1996). Aus Fehlern lernen: Den Mathematikunterricht durch Fehleranalysen verbessern. Friedrich-Jahresheft: Prüfen und beurteilen, XIV, 56–59.

    Google Scholar 

  • Padberg, F. (2002). Anschauliche Vorerfahrungen zum Bruchzahlbegriff zu Beginn der Klasse 6. Praxis der Mathematik in der Schule, 44(3), 112–117.

    Google Scholar 

  • Padberg, F. (2009). Didaktik der Bruchrechnung für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung. 4 erw. Aufl. Heidelberg: Spektrum.

    Google Scholar 

  • Padberg, F., & Bienert, T. (2000). Zur Entwicklung des Bruchzahlverständnisses und der Rechenoperationen mit gemeinen Brüchen innerhalb eines Schuljahres. Der Mathematikunterricht, 46(2), 24–37.

    Google Scholar 

  • Padberg, F., & Krüger, H. (1997). Bruchzahlverständnis – systematische Fehlerstrategien und Fehlvorstellungen. Praxis der Mathematik, 39(5), 193–195.

    Google Scholar 

  • Padberg, F., Neumann, R., & Sewing, N. (1990). Typische Schülerfehler bei Dezimalbrüchen – eine empirische Untersuchung an Realschülern. Mathematische Unterrichtspraxis, 11(4), 31–44.

    Google Scholar 

  • Payne, J. N. (1986). Über Schülerschwierigkeiten beim Bruchzahlbegriff, beim Erweitern, Kürzen und Ordnen von Brüchen. Der Mathematikunterricht, 32(3), 53–57.

    Google Scholar 

  • Pitkethly, A., & Hunting, R. (1996). A review of recent research in the area of initial fraction concepts. Educational Studies in Mathematics, 30(1), 5–38.

    Article  Google Scholar 

  • Post, T. (1981). Fractions: results and implications from national assessment. The Arithmetic Teacher, 28(9), 26–31.

    Google Scholar 

  • Prediger, S. (2004). Brüche bei den Brüchen – aufgreifen oder umschiffen? mathematik lehren, Heft 123, 10–13.

  • Prediger, S. (2007). The relevance of didactic categories for analysing obstacles in conceptual change: revisiting the case of multiplication of fractions. Learning and Instruction, 18(1), 3–17.

    Article  Google Scholar 

  • Reitberger, W. (1992). Untersuchungen zum „nicht-geometrischen“ Bruchzahlbegriff von Haupt- und Realschülern: typische Fehler und deren Ursachen. Journal für Mathematik-Didaktik, 13(4), 291–309.

    Google Scholar 

  • Schaffrath, J. G. (1959). Gedanken zur Psychologie der Rechenfehler. Schweizer Erziehungsrundschau, 32, 41–48 und 66–70.

    Google Scholar 

  • Scherres, C. (2008). Warum habt ihr ausgerechnet in 7/7 umgewandelt? Praxis der Mathematik in der Schule, 50(24), 15–21.

    Google Scholar 

  • Schnaubert, L. (2010). Kompetenzdiagnostik in der Mathematik: Konstruktion und empirische Evaluation von Bruchadditionsaufgaben auf Grundlage eines zwei-dimensionalen Kompetenzmodells. Diplomarbeit. Technische Universität Dresden.

  • Seel, N. M. (1981). Lernaufgaben und Lernprozesse. Stuttgart: Kohlhammer.

    Google Scholar 

  • Shaw, D. J., Standiford, S. N., Klein, M. F., & Tatsuoka, K. K. (1982). Error analysis of fraction arithmetic—selected case studies. Research report. University of Illinois.

  • Siegal, M., & Smith, J. A. (1997). Toward making representation count in children’s conceptions of fractions. Contemporary Educational Psychology, 22(1), 1–22.

    Article  Google Scholar 

  • Stafylidou, S., & Vosniadou, S. (2004). The development of students’ understanding of the numerical value of fractions. Learning and Instruction, 14(5), 503–518.

    Article  Google Scholar 

  • Streefland, L. (1986). Über die N-Verführer in de Bruchrechnung und Maßnahmen zu ihrer Bekämpfung. Der Mathematikunterricht, 32(3), 45–52.

    Google Scholar 

  • Tatsuoka, K. K. (1984). Analysis of errors in fraction addition and subtraction problems. Research report. University of Illinois.

  • Tichá, M. (2000). Wie 11- bis 12-jährige Schüler Textaufgaben mit Brüchen begreifen. Der Mathematikunterricht, 46(2), 50–58.

    Google Scholar 

  • VanLehn, K. (1990). Mind bugs. The origins of procedural misconceptions. Cambridge: MIT Press.

    Google Scholar 

  • Vohns, A. (2005). Fundamentale Ideen und Grundvorstellungen: Versuch einer konstruktiven Zusammenführung am Beispiel der Addition von Brüchen. Journal für Mathematik-Didaktik, 26(1), 52–79.

    Google Scholar 

  • Wartha, S. (2007). Längsschnittliche Untersuchungen zur Entwicklung des Bruchzahlbegriffs. Hildesheim: Franzbecker.

    Google Scholar 

  • Wartha, S., vom Hofe, R. (2005). Probleme bei Anwendungsaufgaben in der Bruchrechnung. mathematik lehren, Heft 128, 10–16.

  • Wearne, D., & Hiebert, J. (1986). Über typische Schülerfehler im Bereich der Dezimalbrüche. Der Mathematikunterricht, 32(3), 78–88.

    Google Scholar 

  • Winter, K. (2007). Rechenfertigkeiten in der Bruchrechnung – Unterschiede in Schulformen und Klassenstufen. In Beiträge zum Mathematikunterricht – Vorträge auf der 41. Tagung für Didaktik der Mathematik vom 25.3. bis 30.3.2007 in Berlin (S. 191–194). Münster: WTM Verlag.

    Google Scholar 

  • Winter, K., & Wittmann, G. (2009). Wo liegt der Fehler? Praxis der Mathematik in der Schule, 51(27), 15–21.

    Google Scholar 

  • Wittmann, G. (2007). Von Fehleranalysen zur Fehlerkultur. In Beiträge zum Mathematikunterricht – Vorträge auf der 41. Tagung für Didaktik der Mathematik vom 25.3. bis 30.3.2007 in Berlin (S. 175–178). Münster: WTM Verlag.

    Google Scholar 

  • Wu, H. (2008). Fractions, Decimals, and Rational Numbers. http://math.berkeley.edu/~wu/Gesehen17. August 2011.

  • Yusof, J., & Malone, J. (2003). Mathematical errors in fractions: a case of bruneian primary 5 pupils. Presented at 26th annual conference of the mathematics education research group of Australasia, 2003.

Download references

Danksagung

Die vorgestellte Arbeit ist Teil des Projektes „Adaptives Tutorielles Feedback“ (ATUF), gefördert von der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG NA738/6-1).

Author information

Authors and Affiliations

  1. Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Professur für die Psychologie des Lehrens und Lernens, Technische Universität Dresden, 01062, Dresden, Deutschland

    Anja Eichelmann, Susanne Narciss & Lenka Schnaubert

  2. Deutsches Forschungszentrum für Künstliche Intelligenz, 66123, Saarbrücken, Deutschland

    Erica Melis

Authors
  1. Anja Eichelmann
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

  2. Susanne Narciss
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

  3. Lenka Schnaubert
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

  4. Erica Melis
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Corresponding author

Correspondence to Anja Eichelmann.

Additional information

Für Erica Melis, die im Februar 2011 viel zu früh aus unserer Mitte gerissen wurde, um selbst weiter an der Realisierung ihrer vielen Ideen zu einer breiten Förderung mathematischer Kompetenzen zu arbeiten. Für Erica war es ein zentrales Anliegen, die Klärung der Fragen inwiefern und unter welchen Bedingungen aus Fehlern gelernt werden kann, voran zu treiben. Möge dieser Übersichtsartikel als Basis für weitere Arbeiten zu diesen Fragen dienen.

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Eichelmann, A., Narciss, S., Schnaubert, L. et al. Typische Fehler bei der Addition und Subtraktion von Brüchen – Ein Review zu empirischen Fehleranalysen. J Math Didakt 33, 29–57 (2012). https://doi.org/10.1007/s13138-011-0031-5

Download citation

  • Received:

  • Accepted:

  • Published:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/s13138-011-0031-5

Schlüsselwörter

Mathematics Subject Classification (2000)

Search

Navigation