Zeitschrift für Betriebswirtschaft

, Volume 81, Issue 5, pp 519–549

Die Entscheidung über den Verkauf von Wertpapieren unter der Abgeltungssteuer und auf Basis subjektiver Erwartungen

Authors

    • Institut für Betriebswirtschaftslehre, Lehrstuhl für FinanzwirtschaftChristian-Albrechts-Universität zu Kiel
  • Nils Podlech
    • Institut für Betriebswirtschaftslehre, Lehrstuhl für FinanzwirtschaftChristian-Albrechts-Universität zu Kiel
Forschung

DOI: 10.1007/s11573-011-0460-0

Cite this article as:
Nippel, P. & Podlech, N. Z Betriebswirtsch (2011) 81: 519. doi:10.1007/s11573-011-0460-0

Zusammenfassung

Mit der Einführung der Abgeltungssteuer auf Kapitalerträge zum 1.1.2009 sind in Deutschland realisierte Kursgewinne bei Wertpapieren unabhängig von der Haltedauer zu versteuern. Diese Gesetzesänderung hat zur Folge, dass die Besteuerung von Kursgewinnen auch für mittel - oder langfristig engagierte Investoren bei der Entscheidung über die Veräußerung von Wertpapieren zu berücksichtigen ist. Wir analysieren optimale und auch starre Strategien im Hinblick auf die Veräußerung von Wertpapieren. Neben der Besteuerung werden auch subjektive Erwartungen des Investors einbezogen. Dabei stellt sich heraus, dass für die Entscheidung über den weiteren Verbleib eines Wertpapiers in seinem Besitz die Höhe des Kursgewinns und dessen Besteuerung zwar relevant sind, die subjektiven Erwartungen jedoch eine viel gewichtigere Rolle spielen. Dies gilt umso mehr, wenn Transaktionskosten und eine Begrenzung der steuerlichen Verlustberechnung einbezogen werden. Die Abschätzung der relativen Bedeutung von Besteuerung und subjektiven Erwartungen erfolgt insbesondere unter Rückgriff auf numerische Berechnungen.

Schlüsselwörter

AbgeltungssteuerVeräußerungsgewinnbesteuerungLock-in-EffektVermögensoptimierungSubjektive Erwartungen

To sell or not to sell securities in the presence of capital gains taxation and subjective expectations

Abstract

Since January 1, 2009 realized capital gains on securities are taxable in Germany regardless of the investor’s holding period. This paper examines when a rational investor should optimally sell a security in the presence of capital gains taxes. Besides taxes, our analysis considers the relevance of investor’s subjective expectations about future market prices of the security. The results suggest that investors should base divestment decisions primarily on their expectations. To realize losses or to avoid the realization of taxable gains (i.e. the lock-in-effect) is of minor importance for the optimal divestment strategy. This result becomes even more pronounced when transaction costs and limitations to save taxes by realizing losses are considered. Numerical calculations illustrate the results of our analysis.

Keywords

Capital gains taxationLock-in-effectTax-timingWealth optimizationSubjective expectations

JEL Classification

D14G11H24

1 Einleitung

Mit der Einführung der Abgeltungssteuer auf Kapitalerträge zum 1.1.2009 sind in Deutschland realisierte Kursgewinne bei Wertpapieren unabhängig von der Haltedauer zu versteuern. Diese Gesetzesänderung hat zur Folge, dass die Besteuerung von Kursgewinnen auch für mittel - oder langfristig engagierte Investoren bei der Entscheidung über die Veräußerung von Wertpapieren zu berücksichtigen ist. Da nur realisierte, nicht aber die allein auf dem Kurszettel stehenden Kursgewinne zu versteuern sind, können Anleger ihre Steuerzahlungen (zeitlich) beeinflussen. Sie können Kursgewinnsteuern (zunächst) vermeiden, indem sie ihre Wertpapiere (noch) nicht veräußern. Erst wenn später der Verkauf erfolgt, fallen die Steuern an. Wenn ein Wertpapier über dem Einstandspreis des Anlegers notiert, also ein Kursgewinn ansteht, kann der Anleger einen zinslosen Steuerkredit in Anspruch nehmen, indem er nicht veräußert. Damit besteht ceteris paribus ein Anreiz, eine Wertpapieranlage nicht zu liquidieren, wenn ein Kursgewinn ansteht. Dies wird in der einschlägigen Literatur1 als Lock-in-Effekt bezeichnet. Umgekehrt ist es steuerlich von Vorteil, anstehende Kursverluste zu realisieren, wenn diese mit anderen Kapitalerträgen verrechnet, und so die darauf anfallenden Steuern verkürzt werden können.

Wären nur diese steuerlichen Erwägungen relevant, könnte also über den Verkauf eines Wertpapiers allein anhand des Vorzeichens des anstehenden Kursgewinns entschieden werden. So einfach ist es jedoch nicht, da auch andere Aspekte bei der Entscheidung eine Rolle spielen. Insbesondere könnte der Investor einen Kursrückgang bei dem Wertpapier erwarten und daher rechtzeitig verkaufen wollen. Oder er erwartet einen Kursanstieg und möchte sich daher eigentlich nicht von dem Wertpapier trennen.

Damit stellt sich die Frage, welche relative Bedeutung die verschiedenen Aspekte haben, die bei der Entscheidung über den möglichen Verkauf von Wertpapieren relevant sind. Wir analysieren diese Entscheidung, wobei wir sowohl die Abgeltungssteuer auf Kursgewinne, als auch – anders als die verfügbare Literatur zum Lock-in-Effekt – individuelle und damit subjektive Erwartungen des Investors berücksichtigen. Die subjektiven Erwartungen beziehen sich auf zukünftige Kurse und Dividenden aus dem betrachteten Wertpapier. Wenn der Investor im Hinblick darauf optimistisch ist, hält er den aktuellen Marktpreis des Wertpapiers für „günstig“, d. h. er hält es für unterbewertet. Umgekehrt hält er es für überbewertet, wenn er pessimistisch im Hinblick auf zukünftige Kurse und Dividenden ist. Als Unter- oder Überbewertung könnte man auch eine Situation bezeichnen, in der das betrachtete Wertpapier im Portfolio des Investors stärker bzw. schwächer zu gewichten ist, um eine optimale Diversifikation (wieder) herzustellen. Ein solches Motiv für einen Handel in Wertpapieren modellieren wir jedoch nicht. Die hier betrachtete subjektiv wahrgenommene Über- oder Unterbewertung kann jedoch als Stellvertreter für alle nicht-steuerlichen Motive zum weiteren Halten oder Verkaufen von Wertpapieren angesehen werden.

Unsere Analyse macht deutlich, dass für die Entscheidung des Investors über den weiteren Verbleib eines Wertpapiers in seinem Besitz die Höhe des Kursgewinns und dessen Besteuerung zwar relevant sind, die subjektiven Erwartungen jedoch eine viel gewichtigere Rolle spielen. Der Investor hat zwar einerseits ein Interesse, die Realisation eines positiven Kursgewinns wegen der dann fälligen Steuer zu vermeiden (womit der Lock-in-Effekt begründet ist). Andererseits liegt aber ein Verkauf nahe, wenn er das betrachtete Wertpapier für überbewertet hält. Wir zeigen, dass in diesem Trade-Off in aller Regel der Einfluss der subjektiven Bewertung überwiegt: Wenn der Investor das Wertpapier für überbewertet hält, sollte er es i. d. R. auch dann verkaufen, wenn er damit einen positiven, zu versteuernden Kursgewinn realisiert. Die dann fällige Steuer ist zwar nachteilig, wenn jedoch der Kursgewinn nicht „heute“ realisiert wird, entsteht ein vergleichbarer Nachteil beim Verkauf in einem zukünftigen Zeitpunkt. Damit verbleibt per Saldo nur ein Barwertnachteil des sofortigen Verkaufs. Dem steht der vergleichsweise große Vorteil gegenüber, ein überbewertetes Wertpapier sofort zu verkaufen, statt weiter investiert zu bleiben und damit eine geringe erwartete Rendite zu erzielen. Nur wenn ein positiver Kursgewinn ansteht, und der Investor das Wertpapier für unterbewertet hält, gibt es gar keinen Anlass, über einen Verkauf nachzudenken.

Bei einem negativen Kursgewinn sprechen steuerliche Erwägungen für einen sofortigen Verkauf eines Wertpapiers. Zumindest gilt dies, sofern negative Kursgewinne in der jeweiligen Periode vollständig oder teilweise mit anderen Kapitalerträgen verrechnet werden können, so dass de facto eine negative Steuer dem Verkauf des Wertpapiers zuzurechnen ist. Für einen Verkauf spricht auch, wenn der Investor das Wertpapier für überbewertet hält. Nur wenn er es für unterbewertet hält, besteht ein Dilemma – verkaufen, um den negativen Kursgewinn steuerlich geltend machen zu können, oder nicht verkaufen, um von der (subjektiven) Unterbewertung zu profitieren. Dieses Dilemma kann dadurch gelöst werden, dass das Wertpapier zwecks Verlustrealisation verkauft und dann unmittelbar wieder zurückgekauft wird. Wir unterstellen, dass eine solche „Sell&Buyback-Transaktion“ (auch als „Wash Sale“ bezeichnet) möglich ist und steuerlich nicht als Gestaltungsmissbrauch angesehen wird.2 Bei einem Verkauf zwecks Realisation eines negativen Kursgewinns mit anschließendem Rückkauf sinkt allerdings der Einstandspreis, den der Investor bei einem späteren, erneuten Verkauf als Steuerbasis geltend machen kann. Insofern ist der Steuerspareffekt der Alternative Sell&Buyback nur begrenzt. Der Investor muss zukünftig c. p. einen höheren Kursgewinn versteuern. Er nimmt letztlich also nur einen zinslosen Steuerkredit in Anspruch. Diese Überlegung macht schon deutlich, dass der Investor keinen großen Nachteil erleidet, wenn er ein Wertpapier, das er als unterbewertet ansieht, ohne Rücksicht auf den evtl. anstehenden negativen Kursgewinn weiter hält, statt eine Sell&Buyback-Transaktion durchzuführen.

Somit ist dem Investor, der seinen subjektiven Erwartungen vertraut, also zu raten, seine Entscheidung in erster Linie auf Basis dieser Erwartungen zu treffen. Die Berücksichtigung auch der steuerlichen Konsequenzen bei der Realisation eines Kursgewinns oder -verlustes führt grundsätzlich natürlich zu einer Steigerung des Vermögens des Investors. Allerdings fällt die Steigerung des Vermögens nicht besonders groß aus, wie wir anhand diverser numerischer Berechnungen zeigen.

Noch geringer ist die quantitative Bedeutung der Berücksichtigung auch der steuerlichen Konsequenzen bei der Realisation eines Kursgewinns oder -verlustes in den Entscheidungen des Investors, wenn realisierte negative Kursgewinne nicht unbedingt sofort in vollem Umfang steuerlich geltend gemacht werden können. Eine solche begrenzte Verlustverrechnung ist im realen deutschen Steuersystem gegeben, weil realisierte Verluste nur mit Gewinnen aus anderen Kapitalanlagen verrechnet werden können. Wenn der Kursverlust größer ist als diese anderen Gewinne, führt der Verlust nicht sofort zu einer entsprechend hohen Steuerersparnis. Ein Teil des Verlustes kann dann nur auf die Zukunft vorgetragen werden (Verlustvortrag). Auch beziehen wir Transaktionskosten in die Analyse ein, womit ein Verkauf eines Wertpapiers tendenziell weniger attraktiv wird.

Der Aufbau dieser Arbeit ist wie folgt: Zunächst wird in Kap. 2 ein Überblick über die relevante Literatur gegeben. In Kap. 3 erfolgt dann eine Einführung in unsere Überlegungen anhand eines einfachen Zwei-Perioden-Modells (Abschn. 3.1). Es wird die optimale Entscheidung eines rationalen Investors mit subjektiven Erwartungen analysiert, der ein Wertpapier aus seinem Besitz mit gegebenem historischen Einstandspreis verkaufen oder weiter halten kann. Dabei werden der sog. Lock-in-Effekt und die Vorteilhaftigkeit der Realisation eines negativen Kursgewinns deutlich, gleichzeitig aber auch die Beschränkungen der Relevanz dieser Effekte im Gesamtzusammenhang. Die Überlegungen werden dann in Abschn. 3.2 auf den Mehr-Perioden-Fall übertragen. In Kap. 4 wird dann der Fall mit begrenzter Verlustverrechnung betrachtet. Diese Analysen, deren Ergebnisse in einem Zwischenfazit kurz zusammengefasst werden (Kap. 5), lassen allerdings noch kaum erkennen, wie bedeutsam der Vorteil einer expliziten Berücksichtigung der steuerlichen Konsequenzen einer Realisation von Kursgewinnen oder -verlusten in den Entscheidungen des Investors tatsächlich ist. Um eine solche quantitative Abschätzung vornehmen zu können, stellen wir in Kap. 6 verschiedene numerische Berechnungen vor. Kapitel 7 fasst die Ergebnisse der Arbeit zusammen.

2 Literatur

Unsere Analyse verbindet Aspekte aus verschiedenen Literatursträngen: einerseits die Bedeutung der Kursgewinnbesteuerung und damit den Lock-in-Effekt, und andererseits die Differenzierung zwischen Marktpreis und subjektivem Wert.

Grundlegend für die Frage nach der Bedeutung der Besteuerung von Kursgewinnen und -verlusten für die Entscheidung über den Verkauf eines Wertpapiers sind die Arbeiten von Constantinides (1983) und Stiglitz (1983). Diese zeigen bereits, dass die optimale Liquidationsstrategie von Investoren darin besteht, Kursverluste sofort zu realisieren, Kursgewinne hingegen erst in möglichst ferner Zukunft. Somit wird der Lock-in-Effekt herausgearbeitet, wobei von unbegrenzter Verlustverrechnung und unbegrenzten Leerverkaufsmöglichkeiten ausgegangen wird. Subjektive Erwartungen werden dort jedoch nicht explizit berücksichtigt. Eine nur begrenzt mögliche Verrechnung von negativen Kursgewinnen wird u. a. in Ehling et al. (2008) berücksichtigt. Gegenstand ist dort die Bestimmung des optimalen Portfolios eines Investors. Der Lock-in-Effekt spielt auch schon in den Beiträgen zur Portfolio-Optimierung unter der Kursgewinnbesteuerung u. a. von Balcer und Judd (1987), Klein (1999, 2001) eine Rolle.

Empirische Evidenz zum Lock-in-Effekt findet sich u. a. bei Ivkovic et al. (2005) sowie Desai und Gentry (2004), die Aktienkauf- und Aktienverkaufstransaktionen auf deren steuerliche Motivation untersuchen. In beiden Untersuchungen wird der Lock-in-Effekt bestätigt. Dieser fällt umso größer aus, je größer das Handelsvolumen und je länger die Haltedauer ist. Bremer und Kato (1996) und Lakonishok und Smidt (1986) untersuchen das Handelsvolumen an der Tokioter sowie der New Yorker Börse. In beiden Untersuchungen werden zwar steuerlich motivierte Handelstransaktionen identifiziert, „Winner“ (Aktien, die einen Kursgewinn aufweisen) werden jedoch deutlich häufiger gehandelt als „Loser“ (Aktien, die einen Kursverlust aufweisen). Für dieses nicht steueroptimierende Verhalten werden u. E. bilanzkosmetische Gründe aufgeführt.

In der Literatur zum Lock-in-Effekt wird nicht auf die Bedeutung subjektiver Erwartungen für die Verkaufsentscheidungen des Investors abgestellt. Daher kann aus dieser Literatur auch nicht auf die Bedeutung der subjektiven Erwartungen relativ zu den steuerlichen Vor- oder Nachteilen einer Veräußerung geschlossen werden. Vergleichbar mit unserer These von der höheren Relevanz der subjektiven Erwartungen ist nur das Ergebnis von Dammon et al. (2001). Dort wird gezeigt, dass die Vorteile eines aus Diversifikationsaspekten stetig angepassten Portfolios die steuerlichen Nachteile, aufgrund der dabei evtl. realisierten Kursgewinne, überwiegen.

Neben dem Lock-in-Effekt soll hier also vor allem die Differenzierung von subjektivem Wert und Marktpreis eines Wertpapiers berücksichtigt werden. Eine derartige Differenzierung ist auch Gegenstand anderer Literaturzweige. Die Möglichkeit des Auseinanderfallens von Marktpreis und subjektivem Wert3 ist insbesondere implizite Voraussetzung jeder Form von Wertpapieranalyse mit dem Ziel, unter- oder überbewertete Wertpapiere zu identifizieren. Der Analyst, der einen „inneren Wert“ eines Wertpapiers bestimmt, von dem er annimmt, dass der Markpreis sich diesem in absehbarer Zeit annähert, nimmt letztlich eine subjektive Bewertung vor. Ein Investor, der in diesem Sinne Wertpapieranalyse betreibt, muss entweder davon überzeugt sein, dass er bessere Informationen oder eine überlegene Fähigkeit zur Informationsverarbeitung besitzt als der Markt, und dass die anderen Marktteilnehmer ihre Einschätzungen in absehbarer Zeit revidieren werden (vgl. Schmidt 1976, S. 420. In diesem Sinne ist der Anspruch der Aktienanalyse „elitär“, vgl. ebenda). Oder aber er geht davon aus, dass der Preis eines Wertpapiers im Gleichgewicht von dessen „innerem Wert“, basierend auf allen verfügbaren Informationen, abweichen kann, weil am Markt sog. Noise Trader aktiv sind und Arbitragetransaktionen rationaler Marktteilnehmer beschränkt sind (vgl. De Long et al. 1990, 1991, oder auch den Überblick in Shleifer 2000).

Mit der Differenzierung zwischen Marktpreis und subjektivem Wert folgen wir in gewisser Weise auch einer Tradition der deutschen Literatur zur Unternehmensbewertung (vgl. z. B. Busse v. Colbe 1957; Münstermann 1966, u. v. a.). Dort werden neben den persönlichen Verhältnissen und Handlungsalternativen eines Käufers oder Verkäufers auch die subjektiven Erwartungen als Bestimmungsfaktoren des individuellen, subjektiven Wertes benannt (vgl. z. B. Busse v. Colbe 1957, S. 17).

Wenn Investoren subjektive Erwartungen hegen, weichen diese i. d. R. voneinander ab (vgl. z. B. McInish und Srivastava 1984), so dass am Markt insgesamt heterogene Erwartungen vorherrschen. Die Preisbildung am Kapitalmarkt unter heterogenen Erwartungen ist Gegenstand umfangreicher Literatur.4 Wir gehen jedoch von gegebenen Marktpreisen aus und analysieren die Entscheidung eines einzelnen Investors.

In unserer Analyse der Verkaufsentscheidung unter der Besteuerung von Kursgewinnen und subjektiven Erwartungen, relativiert sich die Bedeutung des Lock-in-Effekts. Kursgewinne sind auch dann zu realisieren, wenn diese zu einer Steuerzahlung führen, sofern der Investor pessimistisch hinsichtlich zukünftiger Erträge aus dem Wertpapier ist. Eine ganz anders geartete Relativierung des Lock-in-Effekts liefert die Prospect Theory (vgl. Kahneman und Tversky 1979). Dort wird eine Tendenz zur Realisation von Gewinnen und zum „Aussitzen von Verlusten“ erklärt. Das Aussitzen von Verlusten ist gemäß unserer Analyse jedoch nicht angeraten. Negative Kursgewinne sollten unabhängig von den subjektiven Erwartungen hinsichtlich zukünftiger Erträge aus dem Wertpapier realisiert werden (ggf. ist ein Rückkauf vorzunehmen).

3 Die optimale Entscheidung bei unbegrenzter steuerlichen Verlustverrechnung

3.1 Der Ein-Perioden-Fall

Analysiert werden soll, wie sich ein gegenwärtig anstehender Kursgewinn eines Wertpapiers im Besitz des Investors auf dessen Entscheidung über einen möglichen Verkauf dieses Wertpapiers auswirkt. Wir werden zeigen, dass ein negativer Kursgewinn hinreichend dafür ist, dass ein Verkauf als vorteilhaft anzusehen ist, wenn dem Verkauf auch ein Rückkauf desselben Wertpapiers folgen kann. Allerdings ist der negative Kursgewinn nicht notwendig für die Vorteilhaftigkeit des Verkaufs. Wenn der Investor auf Basis seiner subjektiven Erwartungen bezüglich zukünftiger Kurse und Ertragsausschüttungen das Wertpapier mit dem aktuellen Marktpreis als überbewertet ansieht, kann er von einem Verkauf auch bei einem positiven, zu versteuernden Kursgewinn profitieren. Insofern entfällt der Lock-in-Effekt. Weiterhin soll die Analyse schon darauf hinweisen, dass ein negativer Kursgewinn zwar hinreichend für die Vorteilhaftigkeit eines Verkaufs ist, der Investor bei einer aus seiner Sicht gegebenen Unterbewertung aber keinen großen Nachteil erleidet, wenn er auf den steuerlich angeratenen Verkauf verzichtet. Umgekehrt ist ein Verkauf trotz positiven Kursgewinns mit keinem oder nur geringem Nachteil verbunden, wenn das Wertpapier als überbewertet angesehen wird. Insgesamt kann also auf die Berücksichtigung des aktuell anstehenden Kursgewinns bei der Entscheidung über einen eventuellen Verkauf eines Wertpapiers verzichtet werden, ohne dass dies einen nennenswerten Nachteil bringt.

Zum Einstieg in die Analyse wird die Entscheidungssituation eines Investors betrachtet, der ein Wertpapier zum Preis von P1 im vergangenen Zeitpunkt t = −1 gekauft hat und dieses entweder heute, in t = 0, zum aktuellen Marktpreis von P0 verkaufen, oder noch bis zum zukünftigen Zeitpunkt t = 1 halten kann, um es dann zum Preis P1 zu veräußern. Leerverkäufe schließen wir aus. Nach t = 1 findet kein Handel mehr statt. Vom Betrachtungszeitpunkt t = 0 an gerechnet vergeht also nur noch eine Periode. Am Ende dieser Periode, in t = 1, erhält der Investor aus dem Wertpapier – sofern er dann noch investiert ist – auch eine Dividende von D1. Diese Dividende ist aus gegenwärtiger Sicht, ebenso wie der zukünftige Preis P1, unsicher. Der Begriff der Dividende kann hier weit ausgelegt werden. Da auch Zinserträge unter der Abgeltungssteuer mit dem gleichen Steuersatz zu versteuern sind, kann D1 als Dividende i. e. S. aus einer Aktie, als Zinsertrag, oder als eine sonstige zu versteuernde Ertragsausschüttung an den Inhaber des Wertpapiers interpretiert werden. E(P1 + D1) ist der subjektive, vom Investor geschätzte Erwartungswert über den zukünftigen Wert des Wertpapiers inklusive Dividende. Eine eventuelle Dividende in t = 0 kann vernachlässigt werden, da diese nicht mehr entscheidungsrelevant ist. Der Preis P0 ist ex Dividende in t = 0 zu verstehen.

Sowohl erhaltene Dividenden als auch einen realisierten Kursgewinn muss der Investor mit dem (Abgeltungs-) Steuersatz s versteuern. Wenn ein negativer Kursgewinn realisiert wird, kann dieser vollständig mit anderen Kapitalerträgen verrechnet werden, so dass bei Veräußerung des Wertpapiers mit Verlust de facto eine dementsprechende negative Steuer anzusetzen ist. Der Fall mit nur begrenzter Verlustverrechnung wird erst weiter unten behandelt (s. Kap. 4).

Damit lässt sich nun zunächst das Vermögen des Investors aus dem betrachteten Wertpapier für den Fall, dass er sich für den Verkauf (Alternative „Sell“) entscheidet, bestimmen. Sein Vermögen beträgt dann:

$$ W_0^{Sell} = {P_0} - s({P_0} - {P_{ - 1}}). $$
(1)

Hierin kommt insbesondere die soeben ausgeführte Annahme zum Ausdruck, dass er den realisierten Kursgewinn von P0 − P1 unabhängig von der Höhe und dem Vorzeichen mit dem Steuersatz s versteuern muss. Ein negativer Kursgewinn, \({P_0} - {P_{ - 1}} < 0\), führt also zu einer negativen Steuerzahlung in Höhe von \(s({P_0} - {P_{ - 1}}) < 0\).

Der Investor kann das Wertpapier aber auch veräußern und unmittelbar zurückkaufen (Alternative „Sell&Buyback“). Diese Vorgehensweise bietet sich an, um im Falle eines in t = 0 anstehenden negativen Kursgewinns, \({P_0} - {P_{ - 1}} < 0\), diesen Steuer-verkürzend zu realisieren, gleichzeitig aber an einem als profitabel angesehenen Investment festzuhalten. Wann und inwiefern das Investment aus Sicht des Anlegers als profitabel anzusehen ist, wird in Kürze definiert. Zunächst ist die Vermögensposition des Investors bei Sell&Buyback zu betrachten. Wenn er das Wertpapier in t = 0 zu P0 zurückkauft, kann er es in t = 1 erneut zum dann geltenden Preis P1 verkaufen und erhält außerdem noch die Dividende von D1. Der subjektive Erwartungswert dieses Zuflusses nach Steuern beträgt \((1 - s)E({P_1} + {D_1}) + s{P_0}\), wobei nun der Rückkaufpreis P0 als Steuerbasis fungiert, und demzufolge die Steuer auf den Kursgewinn in t = 1 s(P1 − P0) beträgt. Die darin enthaltene Komponente sP0 stellt eine sichere Größe dar. Daher kann dieser Teil des zukünftigen Vermögens auch mit dem sicheren Zinssatz nach Steuern, r, diskontiert werden. Der Erwartungswert (1 − s)E(P1 + D1) muss hingegen mit dem Kapitalkostensatz µ diskontiert werden, der eine angemessene Risikoprämie enthält. Auch hier ist natürlich der nachsteuerliche Kapitalkostensatz zu verwenden. Die Höhe der Risikoprämie hängt von der geschätzten Verteilung der unsicheren Größe (P1 + D1), inklusive der Korrelationen mit den sonstigen riskanten Anlagen des Investors und seinen Risikopräferenzen, ab. Die Berücksichtigung der individuellen Erwartungen und Präferenzen ist Ausdruck der Annahme, dass der Investor überhaupt eine subjektive Bewertung vornimmt, statt Marktpreisen „zu vertrauen“. Da die absolute Höhe der Kapitalkosten im Folgenden keine Rolle spielt, brauchen wir uns hier auch nicht mit deren Bestimmung, inklusive der Frage nach der konkreten Berücksichtigung der Besteuerung in den Kapitalkosten, zu beschäftigen.

Bei Sell&Buyback beträgt das gegenwärtige Vermögen des Investors

$$ \begin{aligned} W_0^{Sell\&Buyback} = & W_0^{Sell} - {P_0} + \frac{{(1 - s)E({P_1} + {D_1})}}{{1 + \mu }} + \frac{{s{P_0}}}{{1 + r}} \\ = &- s({P_0} - {P_{ - 1}}) + \frac{{(1 - s)E({P_1} + {D_1})}}{{1 + \mu }} + \frac{{s{P_0}}}{{1 + r}}. \\\end{aligned}$$
(2)

Die Summe der Barwerte \(\frac{{(1 - s)E({P_1} + {D_1})}}{{1 + \mu }} + \frac{{s{P_0}}}{{1 + r}}\) in (2) stellt eine subjektive Bewertung des betrachteten Wertpapiers durch den Investors in t = 0 dar. Diese Bewertung hängt in erster Linie von den subjektiven Erwartungen des Investors ab, die in dem Erwartungswert E(P1 + D1) und in dem Kapitalkostensatz µ zum Ausdruck kommen, aber auch von dem aktuellen Marktpreis P0, da dieser als Steuerbasis die später (in t = 1) zu zahlende Steuer auf den Kursgewinn beeinflusst. Diese bedingte subjektive Bewertung bezeichnen wir im Folgenden kurz als den subjektivenWert, den der Investor dem Wertpapier in t = 0 zuordnet, und führen dafür das Symbol \({\hat P_0}\) ein:

$$ {\hat P_0} \equiv \frac{{(1 - s)E({P_1} + {D_1})}}{{1 + \mu }} + \frac{{s{P_0}}}{{1 + r}}. $$
(3)

Damit vereinfacht sich (2) zu

$$ W_0^{Sell\&Buyback} = {\hat P_0} - s({P_0} - {P_{ - 1}}). $$
(4)

Wenn der Investor das Wertpapier in t = 0 nicht verkauft, sondern weiter, bis t = 1 hält, besteht sein Vermögen aus dem Anspruch auf die zukünftigen unsicheren Zahlungen in Form von Verkaufspreis und Dividende. Für die Alternative, nicht zu verkaufen („Hold“) beträgt das Vermögen somit:

$$ W_0^{Hold} = \frac{{(1 - s)E({P_1} + {D_1})}}{{1 + \mu }} + \frac{{s{P_{ - 1}}}}{{1 + r}}. $$
(5)

Da die unsichere Position P1 + D1, über die in (5) der Erwartungswert gebildet und dann diskontiert wird, identisch mit der entsprechenden Position in (2) (und in (3)) ist, kann hier auch der gleiche Kapitalkostensatz µ verwendet werden.

Unter Rückgriff auf (3) lässt sich für das Vermögen \(W_0^{Hold}\) bei Hold auch schreiben

$$ W_0^{Hold} = {\hat P_0} - \frac{{s({P_0} - {P_{ - 1}})}}{{1 + r}}. $$
(6)

Das Vermögen des Investors entspricht also dem subjektiven Wert, abzüglich des Barwertes der auf t = 1 verschobenen Steuer auf den aktuell anstehenden Kursgewinn.

Der Verkauf des Wertpapiers in t = 0 ist für den Investor vorteilhaft, wenn er damit ein höheres Vermögen erzielt als bei Hold, d. h.,

$$ Max\left[ {W_0^{Sell},W_0^{Sell\&Buyback}} \right]> W_0^{Hold}. $$
(7)

Um zu zeigen, dass diese Bedingung zwingend erfüllt ist, wenn in t = 0 ein negativer Kursgewinn ansteht, unterscheiden wir zwischen einer aus Sicht des Investors gegebenen Unterbewertung und einer Überbewertung des Wertpapiers am Markt. Eine Unterbewertung liegt aus Sicht des Investors vor, wenn der aktuelle Marktpreis, kleiner ist als der subjektive Wert aus Sicht des Investors, d. h. \({P_0} < {\hat P_0}\). Dann würde der Investor das Wertpapier nach einem Verkauf zurückkaufen wollen, weil er es als eine profitable Investition ansieht. Umgekehrt liegt eine Überbewertung vor, wenn der Marktpreis größer als der subjektive Wert aus Sicht des Investors ist, d. h. \({P_0}> {\hat P_0}\). Dann wäre ein Rückkauf nicht angeraten. Es sei also festgehalten:

Definition 1a:

Bei Unterbewertung gilt:

$$ W_0^{Sell} < W_0^{Sell\&Buyback} \Leftrightarrow {P_0} < {\hat P_0}. $$
(8)

Bei Überbewertung gilt:

$$ W_0^{Sell}> W_0^{Sell\&Buyback} \Leftrightarrow {P_0}> {\hat P_0}. $$
(9)

Der Beweis der jeweiligen Äquivalenz der beiden Ungleichungen in (8) und (9) folgt unmittelbar aus dem Vergleich von \(W_0^{Sell}\) aus (1) und \(W_0^{Sell\&Buyback}\) aus (4).

Ob Unter- oder Überbewertung vorliegt, kann somit auch allein anhand eines Vergleichs von \( W_0^{Sell} \) und \(W_0^{Sell\&Buyback}\) festgemacht werden. Ein Wertpapier, das der Investor als überbewertet ansieht, würde er nach einem Verkauf (Sell) nicht wieder zurückkaufen. Der Rückkauf lohnt sich hingegen, wenn er das Wertpapier als unterbewertet ansieht und daher investiert bleiben sollte.

Im nächsten Schritt ist zu prüfen, wann ein Verkauf der Alternative Hold überlegen ist. Dies wird zunächst für den Fall der Unterbewertung (mit \(W_0^{Sell} < W_0^{Sell\&Buyback}\)) analysiert. Es zeigt sich, dass dann ein negativer Kursgewinn hinreichend und notwendig für die Vorteilhaftigkeit des Verkaufs ist. Es gilt:

Lemma 1a:

$$ W_0^{Sell\&Buyback}> W_0^{Hold} \Leftrightarrow {P_0} < {P_{ - 1}}. $$
(10)

Beweis: Einsetzen von (4) und (6) zeigt, dass

$$ \begin{aligned} W_0^{Sell\&Buyback}> W_0^{Hold} \Leftrightarrow & {{\hat P}_0} - s({P_0} - {P_{ - 1}})> {{\hat P}_0} - \frac{{s({P_0} - {P_{ - 1}})}}{{1 + r}} \\ \Leftrightarrow & 0> s({P_0} - {P_{ - 1}})\frac{r}{{1 + r}}. \\\end{aligned} $$
(11)

Der Term \(\frac{r}{{1 + r}}\) auf der RHS der letzten Zeile von (11) ist für r > 0 immer positiv. Daher ist die Bedingung für die Vorteilhaftigkeit eines Verkaufs im Fall der Unterbewertung immer, und nur dann erfüllt, wenn \({P_0} - {P_{ - 1}} < 0\). Ein negativer Kursgewinn ist bei Unterbewertung also notwendig und hinreichend dafür, dass dieser realisiert werden sollte.

Allerdings wird in (11) auch deutlich, dass der Unterschied zwischen \(W_0^{Sell\&Buyback}\) und \(W_0^{Hold}\) geringer ist als der Steuerbetrag \( - s({P_0} - {P_{ - 1}})\), den der Investor bei Realisation des negativen Kursgewinns in t = 0 erhält. Denn aufgrund des von P1 auf P0 gesunkenen Einstandspreises bei Sell&Buyback muss der Investor in t = 1 entsprechend mehr Steuern zahlen. Der Investor nimmt bei Sell&Buyback somit nur einen zinslosen Steuerkredit in Anspruch. Er hat durch die Realisation des negativen Kursgewinns einen Zinsvorteil nach Maßgabe des Zinssatzes r. Der Barwert dieses Zinsvorteils ist gleich \(\frac{r}{{1 + r}}\) je Einheit des Steuerbetrags \( - s({P_0} - {P_{ - 1}})\), den der Investor bei negativem Kursgewinn in t = 0 erhalten kann. Statt einer endgültigen Steuerersparnis von \( - s({P_0} - {P_{ - 1}})\) kommt es bei Sell&Buyback nur zu einem Zinsvorteil im Wert von \( - \frac{r}{{1 + r}}s({P_0} - {P_{ - 1}})\). Dieser steuerliche Netto-Vorteil des Verkaufs in t = 0 ist umso kleiner, je kleiner der Zinssatz r ist. Für r → 0 ist der Vorteil aus der Realisation des negativen Kursgewinns in t = 0 gleich null.

Im Falle einer Überbewertung gilt \(W_0^{Sell}> W_0^{Sell\&Buyback}\). Bei Verkauf kommt ein Rückkauf nicht in Frage, da der Investor das Wertpapier am Markt für überbewertet ansieht. Somit sind \(W_0^{Sell}\) und \(W_0^{Hold}\) zu vergleichen, um zu prüfen, wann ein Verkauf vorteilhaft ist. Dies ist immer dann der Fall, wenn kein positiver Kursgewinn ansteht. Es gilt:

Lemma 2a:

$$ {P_0} \le {P_{ - 1}} \Rightarrow W_0^{Sell}> W_0^{Hold}. $$
(12)

Beweis: Einsetzen von (1) und (5) zeigt, dass

$$ \begin{aligned} W_0^{Sell}> W_0^{Hold} \Leftrightarrow & {P_0} - s({P_0} - {P_{ - 1}})> {{\hat P}_0} - \frac{{s({P_0} - {P_{ - 1}})}}{{1 + r}} \\ \Leftrightarrow & {P_0} - {{\hat P}_0}> s({P_0} - {P_{ - 1}})\frac{r}{{1 + r}}. \\\end{aligned} $$
(13)

Die LHS der letzten Zeile von (13) ist im hier betrachteten Fall mit Überbewertung positiv, \({P_0} - {\hat P_0}> 0\). Die RHS von (13) entspricht der RHS von (11). Sie ist nicht positiv, wenn ein nicht-positiver Kursgewinn in t = 0 ansteht, d. h. \({P_0} \le {P_{ - 1}}\), und der Diskontierungszinssatz r positiv ist.

Im Falle eines negativen Kursgewinns ist die Veräußerung des Wertpapiers also auch bei Überbewertung angeraten. Aber auch wenn ein positiver Kursgewinn ansteht, kann die Bedingung (13) erfüllt sein. Ein negativer Kursgewinn ist also hinreichend aber nicht notwendig, um im Fall einer Überbewertung einen Verkauf angeraten erscheinen zu lassen. Auch bei einem positiven Kursgewinn kann es vorteilhaft sein, diesen zu realisieren, wenn die Überbewertung hinreichend hoch ist. Dann ist der steuerliche Nachteil der heutigen Realisation des Kursgewinns geringer als der Vorteil, die überbewertete Anlage zu liquidieren.

In (13) wird auch wieder deutlich, dass das Ausmaß der Überbewertung, \({P_0} - {\hat P_0}\), im Entscheidungskalkül eine viel größere Rolle spielt als die Höhe des Kursgewinns. Der Kursgewinn \({P_0} - {P_{ - 1}}\) wird im Kalkül mit s < 1 und \(\frac{r}{{1 + r}} < 1\) „gewichtet“. Dahinter steht wieder die Tatsache, dass die Realisation eines negativen Kursgewinns in Höhe von \({P_0} - {P_{ - 1}} < 0\) zwar in t = 0 zu einer negativen Steuerzahlung von \(s({P_0} - {P_{ - 1}}) < 0\) führt, diese aber nur einen zinslosen Steuerkredit darstellt – diesmal im Vergleich zu der Alternative Hold. Bei Wahl von Hold würde die Anwartschaft auf die negative Steuer zinslos auf t = 1 verschoben (vgl. (6)). Der steuerliche Vorteil der sofortigen Realisation ist also nur gleich dem Barwert der ersparten Zinsen, d. h. je Einheit des (negativen) Kursgewinns ergibt sich ein Barwertvorteil von \(s\frac{r}{{1 + r}} < 1\). Somit ist also schon zu vermuten, dass eine Entscheidung allein auf Basis der Unter- oder Überbewertung nur zu einer relativ geringen Abweichung vom Optimum führt. Wir werden dies später im Rahmen der numerischen Berechnungen näher betrachten.

Zunächst fassen wir zusammen:

Proposition 1a:

Ein negativer Kursgewinn in t = 0, d. h. P0 < P1, ist in jedem Fall hinreichend dafür, dass der Investor das betrachtete Wertpapier verkaufen sollte. Wenn er es als unterbewertet ansieht, sollte er das Wertpapier nach Realisation des negativen Kursgewinns zurückkaufen. Wenn er es als überbewertet ansieht, kann sich ein Verkauf sogar auch dann lohnen, wenn der anstehende Kursgewinn positiv ist und darauf Steuern zu zahlen sind. Dafür muss die Überbewertung nicht einmal sehr stark ausgeprägt sein. Ein negativer Kursgewinn ist also hinreichend, nicht aber notwendig für die Vorteilhaftigkeit eines Verkaufs, sofern auch die Möglichkeit des Rückkaufs einbezogen wird.

Beweis: folgt aus Lemma 1a und 2a.

Die Vorteilhaftigkeit der Realisation eines negativen Kursgewinns liegt an der damit verbundenen effektiv negativen Steuerzahlung. Ein negativer Kursgewinn steht dann an, wenn der historische Einstandspreis, P1, relativ zum aktuellen Marktpreis, P0, hoch ist. Der Einstandspreis bildet die Steuerbasis. Wenn der negative Kursgewinn nicht realisiert wird, bleibt der „hohe“ Einstandspreis weiterhin als Steuerbasis erhalten und zukünftig realisierte Kursgewinne sind entsprechend „niedrig“. Somit verbleibt letztlich nur ein Zinsverlust, wenn ein aktuell anstehender negativer Kursgewinn nicht realisiert wird. Daher ist der Vorteil, den der Investor daraus zieht, dass er einen negativen Kursgewinn stets realisiert (und ggf. zurückkauft), statt nur auf Basis seiner subjektiven Erwartungen zu entscheiden, d. h. bei Unterbewertung investiert zu bleiben und bei Überbewertung ohne Rücksicht auf den Kursgewinn zu verkaufen, nur gering. Diesen Vorteil der optimalen Strategie, die den Kursgewinn in den Entscheidungskalkül einbezieht, im Vergleich zu der Strategie, die nur auf den Erwartungen basiert, werden wir im Rahmen der numerischen Berechnungen im Kap. 6 analysieren. Zuvor erweitern wir die allgemeine Analyse, indem wir im Folgenden den Mehr-Perioden-Fall betrachten und dann (in Kap. 4) eine Beschränkung der steuerlichen Verlustverrechnung einbeziehen.

3.2 Der Mehr-Perioden-Fall

Im Folgenden erweitern wir die Analyse des Kap. 3.1 auf den Fall mehrerer zukünftiger Zeitpunkte, in denen der Investor auch jeweils wieder über den Verkauf des Wertpapiers entscheiden muss. Für diesen Mehrperioden-Fall, der auch den numerischen Berechnungen in Kap. 6 zugrunde liegt, erhalten wir letztlich keine anderen qualitativen Ergebnisse als für den zuvor betrachteten Ein-Perioden-Fall. Daher kann der eilige Leser dieses Kapitel auch überspringen.

Es sei nun also angenommen, dass der Investor sein Wertpapier nicht nur bis t = 1, sondern auch bis \(t \in \left\{ {2,3,...,T} \right\}\) halten kann. In welchem zukünftigen Zeitpunkt er seine Anlage liquidiert, wenn er nicht schon heute verkauft, hängt dann nicht zuletzt von der zukünftigen Kursentwicklung ab. Bei der zu betrachtenden Entscheidung in t = 0 sei angenommen, dass der Investor alle zukünftigen Entscheidungen jeweils optimal fällt, d. h. in Abhängigkeit von der Kursentwicklung und dem Einstandspreis jeweils die Handlung wählt, die sein Vermögen Wt maximiert. Leerverkäufe schließen wir weiterhin aus.

Wenn der Investor seine Kapitalanlage in t = 0 verkauft, und nicht zurückkauft, d. h. Sell wählt, beträgt sein Vermögen nach Steuern (wie schon im Zwei-Zeitpunkte-Fall)

$$ W_0^{Sell} = {P_0} - s({P_0} - {P_{ - 1}}). $$
(14)

Bei Verkauf und unmittelbarem Rückkauf (Sell&Buyback) setzt sich das Vermögen aus dem Barvermögen in Höhe von \({P_0} - s({P_0} - {P_{ - 1}})\), abzüglich des Kaufpreises für das zurückzukaufende Wertpapier, P0, und dem Anspruch auf zukünftige Zahlungen zusammen. Die zukünftigen Zahlungen aus dem Wertpapier begründen ein Vermögen des Investors in t = 1, W1, das von der erwarteten Kursentwicklung und der Handelsstrategie in \(t \in \left\{ {1,2,3,....,T} \right\}\) abhängt. W1 hängt also z. B. davon ab, ob der Investor in t = 1 verkauft oder das Wertpapier weiter hält, und auch von den weiteren Entscheidungen in t > 1. Wir nehmen an, dass der Investor in jedem zukünftigen Zeitpunkt t ³ 1 die bedingt optimale Entscheidung trifft. Die Bestimmung der optimalen Strategie in t ³ 1 hat prinzipiell rekursiv zu erfolgen, wobei jedoch zu berücksichtigen ist, dass auch die zeitlich vorhergehenden Entscheidungen einzubeziehen sind, weil der jeweilige Einstandspreis eine Rolle im Entscheidungskalkül spielt.

Im Zwei-Zeitpunkte-Fall des Abschn 3.1 betrug der nachsteuerliche Zufluss des Investors in t = 1 bei Wahl von Sell&Buyback in t = 0 im Erwartungswert \((1 - s)E({P_1} + {D_1}) + s{P_0}\). Im hier zu betrachtenden Mehr-Zeitpunkte-Fall kann die Vermögensposition des Investors in t = 1 mit

$$ {W_1} = P{V_1}\left( {c_t^s\left| {{P_0}} \right.} \right) $$
(15)

bezeichnet werden. Hierbei steht \(c_t^s\) für den Cashflow, der dem Investor in Form von Dividenden und aus dem Verkauf des Wertpapiers, evtl. nach Abzug des Preises für einen Rückkauf, im Zeitpunkt t ³ 1, nach Steuern, zufließt. \(P{V_1}\left( {c_t^s\left| {{P_0}} \right.} \right)\) ist der auf den Zeitpunkt t = 1 bezogene subjektive Barwert all dieser Zahlungen. Der Barwert hängt von den Erwartungen des Investors und der bei Sell&Buyback in t = 0 vorerst relevanten Steuerbasis P0 ab. Die Steuerbasis ändert sich erneut, wenn in t = 1 oder später wieder ein Sell&Buyback durchgeführt wird. P0 determiniert nicht nur die Höhe des Kursgewinns und damit die darauf zu zahlenden Steuern bei dem ersten (Wieder-) Verkauf nach t = 0, sondern auch die Entscheidung darüber, wann erstmals (wieder) verkauft wird. Wenn der Investor alle Entscheidungen in \(t \in \left\{ {1,2,3,....,T} \right\}\) optimal wählt, maximiert er sein Vermögen W1 unter Berücksichtigung der jeweiligen Steuerbasis, also insbesondere auch unter Berücksichtigung von P0 als anfängliche Steuerbasis. Das maximale Vermögen in t = 1 sei mit

$$ W_1^*({P_0}) = Max\left\{ {{W_1}({P_0})} \right\} $$
(16)

bezeichnet.

Aus Sicht des gegenwärtigen Zeitpunkts, t = 0, ist dieser Wert unsicher. Dessen Erwartungswert muss daher mit dem risikoadäquaten, nachsteuerlichen Kapitalkostensatz5 des Investors diskontiert werden. Der angemessene Kapitalkostensatz sei µSBB für den hier zunächst betrachteten Fall von Sell&Buyback, in dem die Steuerbasis zumindest bis t = 1 P0 beträgt. Insgesamt beträgt das gegenwärtige Vermögen des Investors bei Sell&Buyback:

$$ \begin{aligned} W_0^{Sell\&Buyback} = & {P_0} - s({P_0} - {P_{ - 1}}) - {P_0} + \frac{{E(W_1^*({P_0}))}}{{1 + {\mu _{SBB}}}} \\ = &- s({P_0} - {P_{ - 1}}) + \frac{{E(W_1^*({P_0}))}}{{1 + {\mu _{SBB}}}}. \\\end{aligned} $$
(17)

Der letzte Term auf der RHS von (17) repräsentiert den Gegenwartswert des Vermögens in t = 1, wenn der Investor sich in t = 0 für Sell&Buyback entscheidet (womit der bei zukünftigen Entscheidungen zu berücksichtigende Einstandspreis P0 beträgt) und alle Entscheidungen in t ³ 1 optimal wählt. Dieser Barwert stellt den subjektiven Wert dar, den der Investor dem Wertpapier in t = 0 unter der Bedingung zuordnet, dass er es in t = 0 zum Preis P0 kauft. Wir definieren daher ähnlich wie im Ein-Perioden-Fall

$$ {\hat P_0} \equiv \frac{{E(W_1^*({P_0}))}}{{1 + {\mu _{SBB}}}} $$
(18)

als den subjektiven Wert des Wertpapiers in t = 0. In (18) darf mit dem gleichen Kapitalkostensatz diskontiert werden wie in (17), weil identische zukünftige Positionen zu bewerten sind. Insbesondere ist auch die anfängliche Steuerbasis, P0, dieselbe.

Unter Verwendung von (18) kann nun die Vermögensposition des Investors aus (17) bei Sell&Buyback wie folgt geschrieben werden:

$$ W_0^{Sell\&Buyback} =- s({P_0} - {P_{ - 1}}) + {\hat P_0}. $$
(19)

Wenn der Investor keinen Verkauf in t = 0 tätigt, sondern die Anlage weiter hält, d. h. in t = 0 Hold wählt, kann er erneut in t = 1 über einen Verkauf entscheiden, wobei es ebenfalls gilt, sein Vermögen W1 zu maximieren, gegeben, alle weiteren Entscheidungen in t > 1 werden optimal gefällt. Nun gilt aber zumindest bis t = 1 noch der ursprüngliche Einstandspreis P1 als Steuerbasis. Das maximale Vermögen in t = 1 unter Berücksichtigung der Steuerbasis in Höhe von P1 sei

$$ W_1^*({P_{ - 1}}) = Max\left\{ {{W_1}({P_{ - 1}})} \right\}. $$
(20)

Diese aus Sicht von t = 0 unsichere Größe unterscheidet sich von derjenigen in (16). Daher ist ihr Erwartungswert i. d. R. auch mit einem anderen Kapitalkostensatz zu diskontieren. Der adäquate Kapitalkostensatz sei mit µHold bezeichnet, da dieser bei der Bewertung der Alternative Hold zum Tragen kommt. Das gegenwärtige Vermögen des Investors bei Hold beträgt

$$ W_0^{Hold} = \frac{{E(W_1^*({P_{ - 1}}))}}{{1 + {\mu _{Hold}}}}. $$
(21)

Nach der Bestimmung der Vermögenspositionen in Abhängigkeit von der Entscheidung in t = 0 kann nun wieder analysiert werden, unter welchen Bedingungen ein Verkauf in t = 0 vorteilhaft ist. Der Verkauf ist für den Investor vorteilhaft, wenn

$$ Max\left[ {W_0^{Sell\&Buyback},W_0^{Sell}} \right]> W_0^{Hold}. $$
(22)

Auch hier können wieder die Fälle mit Unter- und Überbewertung unterschieden werden. Wie schon im Ein-Perioden-Fall sind diese beiden Fälle wie folgt zu unterscheiden:

Definition 1b:

Bei Unterbewertung gilt:

$$ W_0^{Sell} < W_0^{Sell\&Buyback} \Leftrightarrow {P_0} < {\hat P_0}. $$
(23)

Bei Überbewertung gilt:

$$ W_0^{Sell}> W_0^{Sell\&Buyback} \Leftrightarrow {P_0}> {\hat P_0}. $$
(24)

Der Beweis der jeweiligen Äquivalenz der beiden Ungleichungen in (23) und (24) folgt unmittelbar aus dem Vergleich von \(W_0^{Sell}\) aus (14) und \(W_0^{Sell\&Buyback}\) aus (19).

Bei Unterbewertung ist also ggf. ein Rückkauf vorteilhaft, wobei die Alternative Sell&Buyback dem Verzicht auf den Verkauf, d. h. der Alternative Hold genau dann überlegen ist, wenn ein negativer Kursgewinn ansteht. Es gilt:

Lemma 1b:

$$ W_0^{Sell\&Buyback}> W_0^{Hold} \Leftrightarrow {P_0} < {P_{ - 1}}. $$
(25)

Zum Beweis setze man zunächst (17) und (21) ein. Es folgt:

$$ \begin{aligned} &W_0^{Sell\&Buyback}> W_0^{Hold} \\ &\Leftrightarrow- s({P_0} - {P_{ - 1}})> \frac{{E(W_1^*({P_{ -1}}))}}{{1 + {\mu _{Hold}}}} - \frac{{E(W_1^*({P_0}))}}{{1 + {\mu_{SBB}}}}. \\\end{aligned} $$
(26)

Für P0 = P1, d. h. bei einem Kursgewinn von null, ist die LHS der letzten Zeile in (26) offensichtlich gleich null. Außerdem ist für P0 = P1 der bei der Maximierung des Vermögens W1 in t = 1 (und ggf. auch später noch) zu berücksichtigende Einstandspreis unabhängig von der Entscheidung in t = 0. Daher gilt auch \(E(W_1^*({P_0})) = E(W_1^*({P_{ - 1}}))\) für P0 = P1. Und schließlich stimmen auch die risikoadäquaten Kapitalkostensätze überein, d. h. \({\mu _{SBB}} = {\mu _{Hold}}\), wenn P0 = P1 gilt, da dann identische zukünftige Positionen zu bewerten sind. Somit ist also auch die RHS der letzten Zeile in (26) für P0 = P1 gleich null. Nun betrachten wir, wie sich eine (marginale) Steigerung von P1c. p. auswirkt. Die erste Ableitung der LHS der letzten Zeile in (26) nach P1 ist gleich s und damit positiv. Auch die erste Ableitung der RHS der letzten Zeile in (26) nach P1 ist positiv, da ein höherer Einstandspreis die in t = 1 oder später zu zahlenden Steuern im Falle der Wahl von Hold schmälert. Der Wert der Ableitung der RHS ist aber kleiner als s. Somit ist die Ungleichung in (26) für alle P1 > P0 erfüllt. Dass der Wert der ersten Ableitung der RHS von (26) tatsächlich kleiner ist als s, lässt sich wie folgt erklären: Eine marginale Erhöhung von P1 wirkt sich sowohl auf die Höhe der Steuern bei erstmaliger Realisation eines Kursgewinns (nach Wahl von Hold in t = 0) aus, als auch auf die zukünftigen Entscheidungen darüber, wann Kursgewinne zu realisieren sind. Der letztgenannte Effekt ist bei marginaler Änderung von P1 jedoch nur von zweiter Ordnung, da wir unterstellen, dass bei der Bestimmung von \(E(W_1^*({P_{ - 1}}))\) über die zukünftigen Entscheidungen optimiert wurde. Der zuerst genannte Effekt einer marginalen Erhöhung von P1 auf die Kursgewinnsteuer bei erstmaliger Realisation ist hingegen von erster Ordnung. Die Steuern sinken in P1 nach Maßgabe des Steuersatzes s. Allerdings fällt dieser Effekt erst in einem zukünftigen Zeitpunkt an, so dass der Wert der Ableitung von \(E(W_1^*({P_{ - 1}}))/(1 + {\mu _{Hold}})\) nach P1 um den Effekt der Diskontierung kleiner ist als s.

Auch hier wird also wieder deutlich, dass der negative Kursgewinn im Falle der Unterbewertung hinreichend für die Vorteilhaftigkeit des Verkaufs ist. Der Vorteil gegenüber der Alternative Hold ist aber vermutlich nur gering, da bei Hold in Zukunft eine höhere Steuerbasis fortbesteht als bei Sell&Buyback. Die Alternative Hold ist nur um den Zinsvorteil aus dem zinslosen Steuerkredit bei sofortigem Verkauf unterlegen.

Bei Überbewertung, \({P_0}> {\hat P_0}\), gilt \(W_0^{Sell}> W_0^{Sell\&Buyback}\). Daher ist hier der einfache Verkauf (Sell) mit der Alternative Hold zu vergleichen. Es folgt, dass der Verkauf immer überlegen ist, wenn kein positiver Kursgewinn ansteht. Es gilt:

Lemma 2b:

$$ {P_0} \le {P_{ - 1}} \Rightarrow W_0^{Sell}> W_0^{Hold}. $$
(27)

Zum Beweis setze man zunächst (14) und (21) ein:

$$ W_0^{Sell}> W_0^{Hold} \Leftrightarrow {P_0} - s({P_0} - {P_{ - 1}})> \frac{{E(W_1^*({P_{ - 1}}))}}{{1 + {\mu _{Hold}}}}. $$
(28)

Die LHS der Ungleichung in (28) ist bei einem Kursgewinn von null, d. h. für \({P_0} - {P_{ - 1}} = 0\) offensichtlich gleich P0. Und für den Wert auf der RHS von (28) gilt dann

$$ {\left. {\frac{{E(W_1^*({P_{ - 1}}))}}{{1 + {\mu _{Hold}}}}} \right|_{{P_{ - 1}} = {P_0}}} = \frac{{E(W_1^*({P_0}))}}{{1 + {\mu _{Hold}}}} = \frac{{E(W_1^*({P_0}))}}{{1 + {\mu _{SBB}}}} = {\hat P_0}. $$
(29)

Somit lautet die Bedingung (28) bei einem Kursgewinn von null

$$ {P_0}> {\hat P_0}, $$
(30)

und ist bei Überbewertung ex definitione erfüllt. Ein negativer Kursgewinn ist also nicht notwendig für die Vorteilhaftigkeit eines Verkaufs. Er ist aber hinreichend, da die LHS von (28) schneller in P1 steigt als die RHS. Dies kann aus der Beweisführung zu Lemma 1b abgelesen werden.

Auch hier folgt also, dass ein negativer Kursgewinn Anlass genug ist, das Wertpapier zu veräußern. Aber auch wenn der Kursgewinn positiv ist, kann ein Verkauf vorteilhaft sein, wenn die Überbewertung hinreichend hoch ist. Dann ist der steuerliche Nachteil der heutigen Realisation des Kursgewinns geringer als der Vorteil, die überbewertete Anlage zu liquidieren.

Zusammenfassend kann also wieder gefolgert werden:

Proposition 1b:

Ein negativer Kursgewinn in t = 0, d. h. P0 < P1 ist in jedem Fall hinreichend dafür, dass der Investor das betrachtete Wertpapier verkaufen sollte. Wenn er es als unterbewertet ansieht, sollte er das Wertpapier nach Realisation des negativen Kursgewinns zurückkaufen. Wenn er es als überbewertet ansieht, kann sich ein Verkauf aber auch dann lohnen, wenn der anstehende Kursgewinn positiv ist und darauf Steuern zu zahlen sind. Ein negativer Kursgewinn ist also hinreichend, nicht aber notwendig für die Vorteilhaftigkeit eines Verkaufs, sofern auch die Möglichkeit des Rückkaufs einbezogen wird.

Beweis: folgt aus Lemma 1b und 2b.

Wie bedeutsam der negative oder positive Kursgewinn im Verhältnis zur Über- oder Unterbewertung ist, kann im Mehr-Perioden-Fall wegen der Abhängigkeit des gegenwärtigen Vermögens von zukünftigen Entscheidungen und der Abhängigkeit der zukünftigen Entscheidungen vom Einstandspreis und damit von den vorangegangenen Entscheidungen analytisch nicht abgeschätzt werden. Daher führen wir zu diesem Zweck in Kap. 6 numerische Berechnungen durch, die zeigen, dass in erster Linie die Kurserwartungen des Investors einen entscheidenden Einfluss auf die Entscheidung über einen möglichen Verkauf des betrachteten Wertpapiers haben. Zuvor werden jedoch noch die beschränkte Verlustverrechnung in die Analyse einbezogen (Kap. 4) und weitere Verallgemeinerungen kurz angesprochen (Kap. 5).

4 Die optimale Entscheidung bei nur begrenzter steuerlicher Verlustverrechnung

Für den Fall vollständiger Verlustverrechnung wurde in den vorangegangenen Abschnitten gezeigt, dass ein negativer Kursgewinn in jedem Fall (bei Über- und Unterbewertung) hinreichend dafür ist, den Verkauf des Wertpapiers (mit evtl. Rückkauf) als vorteilhaft ansehen zu können. Wir wenden uns nun dem Fall der nur beschränkten Verlustverrechnung zu. D. h. der Investor kann bei einem realisierten negativen Kursgewinn diesen nicht unbedingt in voller Höhe sofort steuerlich geltend machen. Entsprechend der Regelung im deutschen Steuersystem sei angenommen, dass realisierte (negative) Kursgewinne nur mit anderen dafür qualifizierten Gewinnen aus Kapitalvermögen verrechnet werden können.6 Verbleibende Verluste können nicht steuerlich geltend gemacht werden, sie können aber gem. § 20 Abs. 6, Satz 3 EStG auf zukünftige Perioden vortragen werden. Dann muss der Investor zumindest einen Zinsverlust hinnehmen. Wie zu zeigen ist, folgt aber auch unter dieser Regelung, dass ein negativer Kursgewinn hinreichend für die Vorteilhaftigkeit des Verkaufs ist. Dies wird hier nur anhand des Ein-Perioden-Falls formal bewiesen. Hierfür nehmen wir außerdem vereinfachend an, dass der Investor risikoneutral ist und das betrachte Wertpapier keine Dividende zahlt. Diese Vereinfachungen erscheinen jetzt unkritisch, da wir in dem vorherigen Kapitel schon gesehen haben, dass weder die Höhe der Dividende noch die Bewertung des Risikos durch den Investor und die Höhe der Risikoprämie im Diskontierungszinssatz einen direkten Einfluss im Entscheidungskalkül haben, der sich auf die Aussagen zur relativen Vorteilhaftigkeit der Entscheidungsalternativen in t = 0 auswirkt.

Wenn bei dem Verkauf des Wertpapiers ein negativer Kursgewinn realisiert wird, kann dieser nun also nur mit anderen dafür qualifizierten Kapitalerträgen7 der gleichen Periode verrechnet werden. Sei Gt³ 0 der (steuerliche) Gewinn aus solchen anderen Kapitalanlagen, so kann maximal in diesem Umfang eine Verlustverrechnung vorgenommen werden. Der zu versteuernde Gewinn, der dem Verkauf des Wertpapiers in t = 0 zuzurechnen ist, beträgt daher:

$$ Max\left[ {{P_0} - {P_{ - 1}}, - {G_0}} \right]. $$
(31)

Im Falle eines negativen Netto-Gewinns, \({P_0} - {P_{ - 1}} + {G_0} < 0\), kann dieser auf den Zeitpunkt t = 1 vorgetragen werden. Allgemein beträgt der Verlustvortrag somit:

$$ Min\left[ {{P_0} - {P_{ - 1}} + {G_0},0} \right]. $$
(32)

Verlustrückträge schließen wir aus, da diese bei Einkünften aus Kapitalvermögen für Anleger in Deutschland gem. § 20 Abs. 6, Satz 2 EStG nicht zulässig sind.

In t = 1 wird das Wertpapier auf jeden Fall veräußert, danach findet kein Handel mehr statt. Wenn der Investor das Wertpapier in t = 0 verkauft und nicht zurückkauft (Sell), ist dem betrachteten Wertpapier ggf. noch ein negativer Gewinn in t = 1 durch die Verrechnung des Verlustvortrags in Höhe von

$$ Max\left[Min\left[ {{P_0} - {P_{- 1}} + {G_0},0} \right],-G_1\right]. $$
(33)

zuzurechnen. Dabei ist G1 der Gewinn aus sonstigen Kapitalanlagen in t = 1, bis zu dem der Verlustvortrag aus t = 0 maximal steuerlich geltend gemacht werden kann.

Wenn der Investor das Wertpapier hingegen in t = 0 zurückkauft, entfällt auf das betrachtete Wertpapier ein Gewinn in t = 1, nach Verrechnung eines eventuellen Verlustvortrags, in Höhe von

$$ Max\left[{{P_1} - {P_0} + Min\left[{{P_0} - {P_{- 1}} + {G_0},0} \right], - {G_1}} \right]. $$
(34)

Ein Verlustvortrag auf Zeitpunkte nach t = 1 sei nicht möglich.

Bei Wahl der Alternative Hold in t = 0 muss der Investor zunächst keine Kursgewinnsteuer zahlen, in t = 1 beträgt der zu versteuernde Gewinn, soweit er dem Wertpapier zuzurechnen ist:

$$ Max\left[ {{P_1} - {P_{- 1}}, - {G_1}} \right]. $$
(35)

Damit können nun die Vermögenspositionen des Investors in t = 0, bezogen auf das zu betrachtende Wertpapier, in Abhängigkeit von der Entscheidung in t = 0, spezifiziert werden. Für Sell folgt:

$$ \begin{aligned} W_0^{Sell} = & {P_0} - s \cdot Max\left[ {{P_0} - {P_{ - 1}}, - {G_0}} \right] \\ & \quad - \frac{{s \cdot E\left({Max\left[ {Min\left[ {{P_0} - {P_{ - 1}} + {G_0},0} \right], - {G_1}} \right]} \right)}}{{1 + r}}. \\\end{aligned} $$
(36)

Für die Variante des Verkaufs mit anschließendem Rückkauf des Wertpapiers (Sell&Buyback) folgt als gegenwärtige Vermögensposition:

$$ \begin{aligned} W_0^{Sell\&Buyback} = & {P_0} - s \cdot Max\left[ {{P_0} - {P_{ - 1}}, - {G_0}} \right] - {P_0} \\ & \quad + \frac{{E\left( {{P_1} - s \cdot Max\left[ {{P_1} - {P_0} + Min\left[ {{P_0} - {P_{ - 1}} + {G_0},0} \right], - {G_1}} \right]} \right)}}{{1 + r}}. \\\end{aligned} $$
(37)

Für Hold folgt:

$$ W_0^{Hold} = \frac{{E\left( {{P_1} - s \cdot Max\left[ {{P_1} - {P_{ - 1}}, - {G_1}} \right]} \right)}}{{1 + r}}. $$
(38)

Der subjektive Wert im Sinne der maximalen Zahlungsbereitschaft des Investors für das Wertpapier in t = 0, unter der Bedingung, dass der Marktpreis P0 als Steuerbasis einfließt, hängt nun auch davon ab, in welchem Umfang eine Verrechnung eventueller Verluste mit anderen Gewinnen möglich ist. Eine Explikation des subjektive Wertes ähnlich wie in (3) bzw. (18) müsste nun also diese Begrenzung der Verlustverrechnung berücksichtigen. Darauf sei hier nun aber verzichtet. Stattdessen wird Über- und Unterbewertung nur implizit anhand des Vergleiches von \(W_0^{Sell}\) und \(W_0^{Sell\&Buyback}\) definiert: Gegeben, der Investor veräußert das Wertpapier in t = 0, wird er es dann und nur dann zurückkaufen, wenn er es für unterbewertet hält.

Definition 1c:

Bei Überbewertung gilt

$$ W_0^{Sell}> W_0^{Sell\&Buyback}, $$
(39)

bei Unterbewertung gilt

$$ W_0^{Sell} < W_0^{Sell\&Buyback}. $$
(40)

Insgesamt ist der Verkauf (mit evtl. Rückkauf) der Wahl der Alternative Hold überlegen, wenn gilt:

$$ Max\left[ {W_0^{Sell\&Buyback},W_0^{Sell}} \right]> W_0^{Hold}. $$
(41)

Wieder kann gezeigt werden, dass diese Bedingung zwingend erfüllt ist, wenn ein negativer Kursgewinn vorliegt. Dazu sei zunächst wieder der Fall der Unterbewertung betrachtet, d. h. \(W_0^{Sell} < W_0^{Sell\&Buyback}\). Es gilt:

Lemma 1c:

$$ W_0^{Sell\&Buyback}> W_0^{Hold} \Leftrightarrow {P_0} < {P_{ - 1}}. $$
(42)

Für den Beweis sei zunächst festgestellt, dass

$$ W_0^{Sell\&Buyback} = W_0^{Hold} \Leftrightarrow {P_0} = {P_{ - 1}} $$
(43)

gilt. Dies folgt nach Einsetzen von P0 = P1 in (37) und Vergleich mit (38). Des Weiteren gilt

$$ \frac{{dW_0^{Sell\&Buyback}}}{{d{P_{ - 1}}}} \ge \frac{{dW_0^{Hold}}}{{d{P_{ - 1}}}}, $$
(44)

denn für die Ableitung auf der LHS von (44) folgt

$$ \frac{{dW_0^{Sell\&Buyback}}}{{d{P_{ - 1}}}} = \left\{{\kern -5pt}{\begin{array}{*{20}{c}} {0\quad{\textit{f\"{u}r}}\;{P_0} - {P_{ -1}} + {G_0} \le 0\;und\;{P_1} - {P_{ - 1}} + {G_1} + {G_0} \le 0}\\{\frac{s}{{1 + r}}\;{\textit{f\"{u}r}}\;{P_0} - {P_{ - 1}} + {G_0}\le 0\;und\;{P_1} - {P_{ - 1}} + {G_1} + {G_0}> 0}\\{s\quad{\textit{f\"{u}r}}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad{P_0} - {P_{ - 1}} + {G_0}> 0,}\\\end{array}} \right. $$
(45)

und für die Ableitung auf der RHS von (44) folgt

$$ \frac{{dW_0^{Hold}}}{{d{P_{ - 1}}}} = \left\{{\kern -5pt} {\begin{array}{*{20}{c}} {0\quad{\textit{f\"{u}r}}\;{P_1} - {P_{ - 1}} + {G_1} \le 0}\\ {\frac{s}{{1 + }}\;{\textit{f\"{u}r}}\;{P_1} - {P_{ - 1}} + {G_1}> 0.}\\\end{array}} \right. $$
(46)

Somit ist der Wert der Ableitung in (45), ausgehend von P1 = P0 und somit \({P_0} - {P_{ - 1}} + {G_0}> 0\), für alle Werte von P1 anfangs größer und dann mindestens genauso groß wie der Wert der Ableitung in (46). Also kann gefolgert werden, dass \(W_0^{Sell\&Buyback}\) für alle Werte von P1, die größer sind als der „Ausgangswert“ P0, größer ist als \(W_0^{Hold}\).

Demnach ist also ein in t = 0 anstehender negativer Kursgewinn wieder hinreichend und notwendig dafür, dass der Verkauf mit anschließendem Rückkauf (Sell&Buyback) der Alternative Hold vorzuziehen ist, wenn Unterbewertung vorliegt.

Für den Fall der Überbewertung würde der Investor nach einem Verkauf nicht zurückkaufen, \(W_0^{Sell}> W_0^{Sell\&Buyback}\). Insgesamt ist der Verkauf auch in diesem Fall der Alternative Hold vorzuziehen, wenn kein positiver Kursgewinn ansteht. Es gilt:

Lemma 2c:

$$ {P_0} \le {P_{ - 1}} \Rightarrow W_0^{Sell}> W_0^{Hold}. $$
(47)

Beweis: Gemäß Lemma 1c gilt \(W_0^{Sell\&Buyback}> W_0^{Hold}\) bei einem negativen Kursgewinn. Da der Fall der Überbewertung durch \(W_0^{Sell}> W_0^{Sell\&Buyback}\) definiert ist, muss auch hier \(W_0^{Sell}> W_0^{Hold}\) gelten, sofern der Kursgewinn nicht positiv ist.

Wegen der strengen Ungleichheit \(W_0^{Sell}> W_0^{Sell\&Buyback}\) und der Tatsache, dass \(W_0^{Hold} = W_0^{Sell\&Buyback}\) für P0 = P1 gilt, kann ein Verkauf bei Überbewertung auch hier vorteilhaft sein, obwohl der anstehende Kursgewinn nicht negativ ist. Ein negativer Kursgewinn ist also in diesem Sinne bei Überbewertung auch hinreichend, nicht aber notwendig.

Zusammenfassend kann also auch hier wieder gefolgert werden:

Proposition 1c:

Ein negativer Kursgewinn in t = 0, d. h. P0 < P1, ist in jedem Fall hinreichend dafür, dass der Investor das betrachtete Wertpapier verkaufen sollte. Wenn er es als unterbewertet ansieht, sollte er das Wertpapier nach Realisation des negativen Kursgewinns zurückkaufen. Wenn er es als überbewertet ansieht, kann sich ein Verkauf auch dann lohnen, wenn der anstehende Kursgewinn positiv ist und darauf Steuern zu zahlen sind.

Beweis: folgt aus Lemma 1c und 2c.

Für den Ein-Perioden-Fall wurde damit explizit gezeigt, dass auch bei begrenzter Verlustverrechnung ein negativer Kursgewinn hinreichend dafür ist, dass das betrachtete Wertpapier verkauft und ggf. – bei Unterbewertung – wieder zurückgekauft werden sollte. Der Grund hierfür liegt darin, dass der Investor auch bei beschränkter Verlustverrechnung einen negativen Kursgewinn so weit wie möglich heute steuerlich geltend machen sollte, statt einen zinslosen Steuerkredit in voller Höhe zu vergeben. Dieses Ergebnis besteht auch dann fort, wenn man die Betrachtung auf mehrere zukünftige Zeitpunkte erweitert. Solange zumindest ein Teil eines negativen Kursgewinns sofort bei Realisation steuerlich geltend gemacht werden kann, ist diese Realisation sinnvoll, weil so ein (Zins-) Vorteil entsteht. Die formale Beweisführung dazu soll hier jedoch unterbleiben. Die Begrenzung der Verlustverrechnung im Mehrzeitpunkte-Fall wird jedoch in die numerischen Berechnungen einbezogen (vgl. Abschn. 6.2).

Durch die Begrenzung der Verlustverrechnung sinkt allerdings der Vorteil der Strategie, negative Kursgewinne stets sofort zu realisieren und das Wertpapier dann wieder zurückzukaufen, wenn eine Unterbewertung vorliegt. Der Vorteil dieser „steueroptimierenden Strategie“ sinkt relativ zu der Strategie, die Verkaufsentscheidung nur von der subjektiven Unter- oder Überbewertung abhängig zu machen. Dies resultiert daraus, dass bei Realisation eines negativen Kursgewinns dieser u. U. nur noch zum Teil steuerlich geltend gemacht werden kann und damit der gegenwärtige steuerliche Vorteil hinter dem bei unbegrenzter Verlustverrechnung zurück bleibt. Auch dies wird anhand der numerischen Berechnungen in Kap. 6 verdeutlicht werden.

5 Zwischenfazit

Ein anstehender negativer Kursgewinn ist hinreichend dafür, dass der Investor das Wertpapier verkaufen sollte, um es ggf. – bei Unterbewertung – wieder zurückzukaufen. Notwendig ist ein negativer Kursgewinn für die Vorteilhaftigkeit des Verkaufs jedoch nicht, weil ein Verkauf bei subjektiver Überbewertung für den Investor auch dann angeraten sein kann, wenn ein positiver Kursgewinn ansteht. Die Analyse der Verkaufsentscheidung unter Berücksichtigung der individuellen Erwartungen und der steuerlichen Konsequenzen hat jedoch erkennen lassen, dass der steuerliche Aspekt wohl nur von untergeordneter Bedeutung ist. Insgesamt dürfte der Investor keinen großen Vorteil daraus ziehen, dass er in der beschriebenen Weise „steueroptimierend“ verfährt, statt nur auf die von ihm wahrgenommene Unter- oder Überbewertung zu reagieren.

Dies gilt umso mehr, wenn realisierte negative Kursgewinne nicht zur Gänze sofort steuerlich geltend gemacht werden können. Dann schadet sich der Investor tendenziell noch weniger, wenn er ein als unterbewertet angesehenes Wertpapier trotz negativem Kursgewinn einfach weiter hält. Bei Überbewertung sollte er das Wertpapier in aller Regel verkaufen, auch wenn ein positiver Kursgewinn ansteht. Hieran ändert die Begrenzung der Verlustverrechnung naturgemäß nichts.

Wenn mit dem Kauf und Verkauf von Wertpapieren Transaktionskosten verbunden sind, stellt ein negativer Kursgewinn allerdings nicht mehr eine hinreichende Bedingung für die Vorteilhaftigkeit des Verkaufs (ggf. mit Rückkauf) dar. Transaktionskosten verteuern unmittelbar die Alternativen Sell und Sell&Buyback. Allerdings fallen auch bei Hold Transaktionskosten an, wenn auch erst in Zukunft. Transaktionskosten erhöhen daher tendenziell die relative Vorteilhaftigkeit von Hold, allerdings ist der Effekt so gering, dass bei Überbewertung dennoch ein Verkauf vorteilhaft ist. Auch dies soll im Kap. 6 anhand der numerischen Berechnungen verdeutlicht werden.

Insgesamt stellt sich also die Frage, wie bedeutsam die Berücksichtigung des (positiven oder negativen) Kursgewinns im Entscheidungskalkül des Investors relativ zu der Orientierung an einer subjektiven Über- oder Unterbewertung ist. Wir präsentieren zur Klärung dieser Frage im nächsten Kapitel verschiedene numerische Berechnungen, die zeigen, dass in erster Linie die Kurserwartungen des Investors einen entscheidenden Einfluss auf die Entscheidung über einen möglichen Verkauf des betrachteten Wertpapiers haben. Der anstehende Kursgewinn oder -verlust erweist sich hingegen als relativ unbedeutend, da das Vermögen des Investors nicht nennenswert geringer ausfällt, wenn der Kursgewinn/-verlust im Entscheidungskalkül unberücksichtigt bleibt.

6 Numerische Berechnungen

6.1 Unbeschränkte Verlustverrechnung, keine Transaktionskosten

Wir betrachten im Rahmen der numerischen Berechnungen das Vermögen eines Investors zum Zeitpunkt t = 0, das sich aus dem Besitz eines Wertpapiers ergibt, welches er in t = −1 zum Einstandspreis P1 erworben hat. Der Investor hat einen Planungshorizont von insgesamt 8 Teilperioden, danach liquidiert er seine Anlage in jedem Fall. Wir unterstellen, dass die 8 Teilperioden insgesamt ein Jahr ausmachen und wählen die Parameter in den folgenden Berechnungen dazu passend. Eine Ausweitung auf mehr Teilperioden wäre grundsätzlich möglich, erfordert jedoch einen Rechenaufwand bei der Bestimmung der optimalen Strategien, der mit der von uns verwendeten Standard-Software Microsoft-Excel® nicht mehr zu leisten ist.

Von Dividendenzahlungen sehen wir hier ab, da diese die Entscheidung über den Verkauf des Wertpapiers nur indirekt beeinflussen. Zukünftige erwartete Dividenden gehen sowohl in den Marktpreis als auch in die Schätzung des subjektiven Wertes durch den Investor ein. Sie beeinflussen nicht direkt den bei Verkauf zu versteuernden Kursgewinn, und ihre Berücksichtigung würde nicht systematisch zu einer höheren Unter- oder Überbewertung aus Sicht des Investors führen. Weiterhin vereinfachen wir die Betrachtung, indem wir dem Investor Risikoneutralität unterstellen. Dies erfolgt, da hier – anders als in der allgemeinen Beweisführung in Abschn. 3.2 – explizit über mehrere Perioden diskontiert werden muss, und dabei i. d. R. keine konstante Risikoprämie unterstellt werden kann. In wieweit die Annahme der Risikoneutralität kritisch ist, werden wir im Anschluss an die Vorstellung der Ergebnisse diskutieren.

Selbst unter dieser vereinfachenden Annahme sind die Berechnungen des Vermögens in t = 0 in Abhängigkeit von der gegenwärtigen Entscheidung (Sell, Sell&Buyback oder Hold) nicht trivial, insbesondere weil jeweils davon ausgegangen werden soll, dass auch bei zukünftigen Entscheidungen optimiert wird. Grundsätzlich kann ein solches Entscheidungsproblem des Investors bei festem Planungshorizont rekursiv gelöst werden. Hier besteht jedoch die Schwierigkeit darin, dass bei späteren Entscheidungen der steuerlich relevante Einstandspreis von früheren Entscheidungen abhängt. Wenn der Investor das Wertpapier in t = 0 verkauft und dann wieder zurückkauft, ist der bei der nächsten Entscheidung in t = 1 zu berücksichtigende Einstandspreis nicht mehr P1 sondern P0. Eine einfache rekursive Optimierung ist daher nicht möglich. Die optimale Entscheidung in t hängt auch davon ab, welche Entscheidungen der Investor zuvor getätigt hat. Wir lösen dieses Problem, indem wir zunächst rekursiv die optimalen Entscheidungen in allen zukünftigen Zuständen und Zeitpunkten für alle möglichen vorangegangenen Entscheidungssequenzen bestimmen und darauf aufbauend dann die insgesamt optimale Strategie identifizieren.8

Folgende Parameter gelten in den betrachteten Szenarien:
  • Der Abgeltungssteuersatz beträgt, inklusive Solidaritätszuschlag, \(s = 0,25 \cdot 1,055 = 0,26375\).

  • Der Kapitalkostensatz nach Steuern je Periode sei 1 %. Das entspricht 8,29 % über den gesamten Planungshorizont von 8 Teilperioden (= 1 Jahr).

  • Von Transaktionskosten sehen wir hier zunächst ab, auch eine Begrenzung der Verlustverrechnung bei realisierten negativen Kursgewinnen wird erst im nächsten Abschn. 6.2 betrachtet.

  • Der aktuelle Marktpreis des betrachteten Wertpapiers in t = 0 sei \({P_0} = 100\). Ob ein Kursgewinn oder -verlust ansteht, hängt von der Höhe des Einstandspreises P1 ab. Diesen variieren wir im Intervall (50, 150), womit wir Kursgewinne von minus 50 bis plus 50 betrachten (-33,3 % bis + 100 %).

  • Wir nehmen des Weiteren an, dass der Preis des Wertpapiers im Zeitablauf einem Binomial-Prozess folgt. Je Teilperiode wächst oder sinkt der Preis nach Maßgabe der Rendite \({r_{up}} = 4\,\% \) bzw. \({r_{down}} =- 1\% \).

  • Der Investor nimmt für die beiden möglichen Preisentwicklungen subjektive Wahrscheinlichkeiten in Höhe von \({p_{up}}\) bzw. \({p_{down}} = 1 - {p_{up}}\) an.

Über die acht Teilperioden ergäbe sich eine erwartete Wertpapierrendite von 12,65 % vor Steuern (\({\left[ {0,5 \cdot 1,04 + 0,5 \cdot 0,99} \right]^8} = 1,1265\)), wenn die Wahrscheinlichkeiten eines Kursverlustes bzw. eines Kursgewinns gleich einschätzt werden (\({p_{down}} = {p_{up}} = 0,5\)). Diese erwartete Wertpapierrendite ist in etwa konsistent mit Ergebnissen aus Untersuchungen von historischen Aktienrenditen am deutschen Kapitalmarkt. Stehle (2004) ermittelt beispielsweise unter Zugrundelegung der Jahre 1955–2003 im arithmetischen Mittel jährliche DAX-/CDAX-Aktienrenditen vor Einkommensteuern von 12,96 % bzw. 12,40 %. Unserem Investor unterstellen wir jedoch in zwei verschiedenen Szenarien subjektive Erwartungen, die sich entweder in einer optimistischeren oder pessimistischeren Schätzung der Wahrscheinlichkeit \( {p_{up}} \) für einen Kursgewinn niederschlagen.

Im Folgenden wird jeweils das Vermögen des Investors in t = 0 in Abhängigkeit von der Entscheidung in t = 0 berechnet. In t = 8 wird die Anlage annahmegemäß unbedingt liquidiert. Neben der Notwendigkeit in jedem Zeitpunkt bis t = 7 erneut zu optimieren, betrachten wir zusätzlich auch die Strategie, das Wertpapier bis zum Ende des Planungshorizonts unbedingt zu halten. Diese starre „Hold-Till-End“ Strategie ist prinzipiell suboptimal, weil auf die Option, zwischenzeitlich einen evtl. vorteilhaften Verkauf zu tätigen, verzichtet wird. Interessant ist jedoch, wie groß der Unterschied zur optimalen Strategie ist.

Wir beginnen mit der Betrachtung des „optimistischen Szenarios“: Der Investor ist optimistisch hinsichtlich der zukünftigen Kursentwicklung, wenn er die Wahrscheinlichkeit für einen Kursanstieg in einer einzelnen Periode auf \({p_{up}} = 0,6\) schätzt (und damit \({p_{down}} = 0,4\)). Über die acht Perioden rechnet er dann mit einer erwarteten Wertpapierrendite von 17,17 % vor Steuern (\({\left[ {0,6 \cdot 1,04 + 0,4 \cdot 0,99} \right]^8} = 1,1717\)). Auch nach Steuern liegt diese Rendite9 mit 12,64 % über den Kapitalkosten von 8,29 % p. a.

In diesem optimistischen Szenario erhalten wir einen subjektiven Wert, den der Investor für das Wertpapier in t = 0 schätzt, von \({\hat P_0} = 100,47\). Der optimistische Investor hält das Wertpapier mit dem Marktpreis \({P_0} = 100\) also für (geringfügig) unterbewertet.

Abbildung 1 verdeutlicht für verschiedene Einstandspreise P1, mit welcher Entscheidung in t = 0 der Investor sein Vermögen maximiert und welchen prozentualen Anteil am maximal erreichbaren Vermögen die alternativen Handlungsmöglichkeiten sichern.
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Abb. 1

Strategievergleich bei optimistischen Erwartungen

Man erkennt, dass für Kursgewinne (\({P_{ - 1}} < 100\)) die Alternative Hold zu 100 % des maximal erreichbaren Vermögens in t = 0 führt. Für Kursverluste (\({P_{ - 1}}> 100\)) ist hingegen Sell&Buyback optimal. Diese Ergebnisse waren aufgrund der allgemeinen Analyse in Kap. 3.2 zu erwarten. Bei Kursgewinnen führt aber auch die einfache Hold-Till-End Strategie (fast10) immer zum maximal erreichbaren Vermögen. Dies liegt daran, dass angesichts der optimistischen Erwartungen auch ein späterer Verkauf des Wertpapiers nach der Wahl von Hold kaum vorteilhaft sein kann. Die nach der Wahl von Hold noch bestehende Option auf einen späteren Verkauf (mit Rückkauf) hat nur einen sehr geringen Wert.

Im Fall eines Kursverlustes (\({P_{ - 1}}> 100\)) ist Sell&Buyback wegen der negativen Steuerzahlung bei Realisation des Kursverlustes optimal. Allerdings ist erkennbar, dass auch bei Kursverlusten die Wahl von Hold oder Hold-Till-End jeweils ein Vermögen sichert, das dem Maximum bis auf über 99 % nahe kommt. Jede Entscheidung, die darauf hinausläuft, dass der Investor das von ihm als unterbewertet angesehene Wertpapier weiter hält, ist also optimal oder „fast optimal“. Auch bei einem Kursverlust kann der Investor also ohne großen Schaden an dem Wertpapier festhalten.

Nur die Alternative Sell ist in diesem optimistischen Szenario über den gesamten Bereich der betrachteten Kursgewinne deutlich schlechter als die übrigen drei Alternativen. Weil der Investor optimistisch hinsichtlich der zukünftigen Wertentwicklung ist, betrachtet er das Wertpapier als unterbewertet und würde daher nicht von einem (endgültigen) Verkauf profitieren. Insofern ist die Orientierung allein an der subjektiven Unterbewertung eine sehr gute Heuristik, wenn es gilt, über den weiteren Verbleib des Wertpapiers im Besitz des Investors zu entscheiden. Bei einer Unterbewertung lohnt sich der (endgültige) Verkauf nicht, unabhängig von der Höhe des anstehenden Kursgewinns oder -verlustes. Ob Hold oder Sell&Buyback gewählt wird, macht aber keinen großen Unterschied. Auch die unflexible Strategie Hold-Till-End ist keine schlechte Wahl.

Weitere Berechnungen haben gezeigt, dass dies auch gilt, wenn der Investor noch optimistischer ist, d. h. das Wertpapier für stärker unterbewertet hält. Auch dann zeigt sich, dass die drei Alternativen Hold, Sell&Buyback und Hold-Till-End jeweils ein gegenwärtiges Vermögen bedingen, das entweder 100 % des maximal Erreichbaren entspricht oder aber dem Maximum bis auf über 99 % nahe kommt.

In dem zweiten Szenario unterstellen wir, dass der Investor pessimistisch hinsichtlich der zukünftigen Kursentwicklung ist. Er schätzt die Wahrscheinlichkeit für einen Kursanstieg in einer einzelnen Periode nun auf nur \({p_{up}} = 0,4\), einen Kursrückgang hält er für wahrscheinlicher, d. h. \({p_{down}} = 0,6\). Über die acht Perioden rechnet er dann mit einer erwarteten Wertpapierrendite von nur noch 8,29 % vor Steuern (\({\left[ {0,4 \cdot 1,04 + 0,6 \cdot 0,99} \right]^8} = 1,0829\)). Nach Steuern liegt diese Rendite mit 6,1 % unter den Kapitalkosten p. a.

In diesem pessimistischen Szenario erhalten wir daher einen subjektiven Wert, den der Investor für das Wertpapier in t = 0 schätzt, von \({\hat P_0} = 99,74\). Der pessimistische Investor hält das Wertpapier mit dem Marktpreis \({P_0} = 100\) also für (geringfügig) überbewertet.

Abbildung 2 verdeutlicht wieder für verschiedene Einstandspreise P1, mit welcher Entscheidung in t = 0 der Investor sein Vermögen maximiert und welchen prozentualen Anteil am maximal erreichbaren Vermögen die alternativen Handlungsmöglichkeiten sichern.
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Abb. 2

Strategievergleich bei pessimistischen Erwartungen

Für den pessimistischen Investor ist es stets optimal, das Wertpapier zu verkaufen (Sell zu wählen), unabhängig davon, ob ein Kursverlust oder ein Kursgewinn realisiert wird. Die pessimistischen Erwartungen überlagern trotz der nur geringen subjektiven Überbewertung den Lock-in-Effekt. Der Investor profitiert vom Verkauf auch dann, wenn dabei Kursgewinne realisiert und besteuert werden müssen. Der steuerliche Nachteil ist selbst bei hohen Kursgewinnen (von bis zu 100 %) gering im Vergleich zu dem Vorteil, den der Investor daraus zieht, das aus seiner Sicht (geringfügig) überbewertete Wertpapier nicht weiter zu halten. Somit zeigt sich, dass die Orientierung allein an der Überbewertung als sehr gute Heuristik gelten kann (die in diesem Fall sogar die optimale Entscheidung sichert). Dies gilt umso mehr, je stärker die subjektive Überbewertung ausgeprägt ist, d. h. je pessimistischer der Investor ist.

Wenn der Investor entgegen unserer vereinfachenden Annahme risikoavers ist, würde er zukünftige Zahlungen in aller Regel mit einem höheren Kapitalkostensatz bewerten, so dass c. p. der subjektive Wert \({\hat P_0}\) geringer ausfällt als in den obigen Berechnungen. Somit liegt aus seiner Sicht c. p. eher eine Überbewertung vor. Den Fall der Überbewertung haben wir zuletzt schon betrachtet. Dort war Sell stets die optimale Entscheidung, wobei dies dann – wie schon die allgemeine Analyse in Kap. 3.2 gezeigt hat – nicht von der Höhe der Risikoprämie im Kapitalkostensatz abhängt. Insbesondere ist auch die Vermögensposition bei Sell nicht von der Einstellung des Investors zum Risiko abhängig. Insgesamt stellt sich also auch nicht die Frage, wie sich Risikoaversion bei Unterbewertung auf die (relativen) Werte der Alternativen Hold, Sell&Buyback und Hold-Till-End auswirkt. Dies ist nur relevant, wenn der Investor „trotz Risikoaversion“ von einer Unterbewertung, \({\hat P_0}> {P_0}\) ausgeht. Dann ist – unabhängig von der Einstellung zum Risiko (vgl. wieder Kap. 3.2) – entweder Sell&Buyback (bei \({P_0} < {P_{ - 1}}\)) oder Hold (bei \({P_0}> {P_{ - 1}}\)) optimal. Die Ergebnisse unserer numerischen Berechnungen könnten durch die Einführung der Risikoaversion also nur insoweit beeinflusst werden, dass der Abstand zwischen dem Vermögen bei optimaler Entscheidung und der zweitbesten Entscheidung zunimmt. Da aber sowohl der Wert des Vermögens bei Hold als auch der bei Sell&Buyback gleichermaßen von der Diskontierung zukünftiger Zahlungen aus dem gleichen Wertpapier abhängt, wirkt sich die Einführung der Risikoaversion in beiden Fällen auch ähnlich aus. Die in den obigen Berechnungen erkennbare „geringe“ Differenz zwischen \(W_0^{Hold}\) und \(W_0^{Sell\&Buyback}\) wird auch bei Risikoaversion zu beobachten sein.

6.2 Beschränkte Verlustverrechnung, Einbeziehung von Transaktionskosten

Wir führen nun zusätzlich Transaktionskosten und eine Begrenzung der Verlustverrechnung ein. In der Realität hängt der Umfang, in dem Kursverluste steuerlich geltend gemacht werden können, von der Höhe anderer Kapitalerträge ab. Wenn bei einem Verkauf des Wertpapiers ein negativer Kursgewinn realisiert wird, kann dieser nun lediglich mit anderen dafür qualifizierten Kapitalerträgen der gleichen Periode verrechnet oder vorgetragen werden. Wir nehmen vereinfachend an, dass der Investor in jeder Periode einen konstanten Kapitalertrag aus solchen anderen Investitionen erzielt. Sei \({G_t} = G = 10\) der für die Verlustverrechnung zur Verfügung stehende konstante Ertrag aus anderen Kapitalanlagen. Ist ein realisierter Kursverlust größer als G, kann der steuerlich nicht geltend gemachte Anteil dieses Kursverlustes in die nachfolgenden Perioden vorgetragen und zu einem späteren Zeitpunkt steuerlich geltend gemacht werden, falls dann Kapitalerträge in ausreichender Höhe zur Verrechnung zur Verfügung stehen. Ein bis zum Ende des Planungshorizontes von 8 Perioden vorgetragener und auch dann nicht steuerlich geltend gemachter Kursverlust verfällt.

Weiterhin nehmen wir an, dass für jeden Wertpapierkauf und -verkauf Transaktionskosten in Höhe von 0,25 % des gezahlten bzw. vereinnahmten Preises zu entrichten sind.

Zunächst betrachten wir wieder den optimistischen Investor, der die subjektiven up- und down-Wahrscheinlichkeiten auf \({p_{up}} = 0,4\) bzw. \({p_{down}} = 0,6\) schätzt. Unsere Berechnungen zeigen, dass dieser Investor sein Vermögen sowohl in t = 0 als auch in allen Folgeperioden durch weiteres Halten des Wertpapiers maximiert, und zwar unabhängig vom Einstandspreis. Im Gegensatz zum entsprechenden Szenario aus Abschn. 6.1, lohnt sich der Verkauf mit Rückkauf selbst dann nicht mehr, wenn ein (hoher) Kursverlust ansteht (s. Abb. 3). Die bei Sell&Buyback zu entrichtenden Transaktionskosten sowie die nur noch eingeschränkt mögliche steuerliche Geltendmachung von Kursverlusten zehren den steuerlichen Vorteil einer Verlustrealisation gänzlich auf. Demnach kann unter diesen realitätsnäheren Bedingungen gefolgert werden, dass bei optimistischen Kurserwartungen der Investor das Wertpapier unabhängig vom anstehenden Kursgewinn weiter halten sollte und die persönlichen Erwartungen somit den entscheidenden Einflussfaktor auf die Anlageentscheidung darstellen.
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Abb. 3

Strategievergleich bei optimistischen Erwartungen unter Berücksichtigung einer beschränkten Verlustverrechnung und Transaktionskosten

Für den pessimistischen Investor, der die subjektiven up- und down-Wahrscheinlichkeiten auf \({p_{up}} = 0,6\) bzw. \( {p_{down}} = 0,4 \) schätzt, erweist sich – wie schon im vorherigen Fall ohne Transaktionskosten und unbeschränkter Verlustverrechnung – die Alternative Sell stets als optimal (s. Abb. 4).
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Abb. 4

Strategievergleich bei pessimistischen Erwartungen unter Berücksichtigung einer beschränkten Verlustverrechnung und Transaktionskosten

Die Transaktionskosten „verteuern“ zwar den Verkauf. Die Alternative Sell ist aber dennoch vorteilhaft, weil auch bei den anderen Alternativen Transaktionskosten (wenn auch erst in Zukunft) anfallen, so dass wieder die angenommene Überbewertung, und im Falle negativer Kursgewinne (\({P_{ - 1}}> 100\)) zusätzlich der steuerliche Vorteil eines sofortigen Verkaufs (trotz der Begrenzung der Verlustverrechnung) den Ausschlag für die Vorteilhaftigkeit von Sell geben.

Unter Berücksichtigung von Transaktionskosten und einer Begrenzung der Verlustverrechnung ist also bei Unterbewertung Hold und bei Überbewertung Sell optimal. Der anstehende und bei Realisation zu versteuernde Kursgewinn spielt keine Rolle. Dieses Ergebnis ist insofern robust, als dass es auch unter anderen Parameter-Konstellationen gilt. Wir haben insbesondere auch Berechnungen mit höheren up- und geringeren down-Renditen durchgeführt, sowie die Kapitalkosten und die Begrenzung der Verlustverrechnung variiert. Bei der Variation der up- und down-Renditen zeigte sich, dass diese bei gegebener erwarteter Rendite keinen Einfluss auf unser Ergebnis haben. Auch die Höhe der Kapitalkosten wirkt sich nicht auf die relative Vorteilhaftigkeit von Hold bei Unterbewertung und Sell bei Überbewertung aus. Erst wenn durch eine Erhöhung der Kapitalkosten aus dem als unterbewertet angesehen Wertpapier ein überbewertetes wird, ist Sell statt Hold optimal11 (et vice versa). In den Berechnungen haben wir außerdem den Gewinn G im Bereich \(0 < G < 50\) variiert. Im Falle von G = 0 wäre keine Verlustverrechnung möglich, im Falle von \(G \ge 50\) würden wir in unseren Berechnungen wieder den Fall einer vollständigen Verlustverrechnung betrachten. In allen Szenarien erweist sich Hold als optimal oder führt zumindest zu mehr als 99,5 % des maximal erreichbaren Vermögens, wenn Unterbewertung vorliegt. Umgekehrt erweist sich Sell als optimal, wenn Überbewertung vorliegt. Insofern kann die Entscheidung in t = 0 durchaus allein auf Basis der subjektiven Über- oder Unterbewertung erfolgen. Wie die Berechnungen gezeigt haben, gilt dies schon bei recht geringer Über- oder Unterbewertung.

Wenn der Investor den Marktpreis des Wertpapiers allerdings als angemessen ansieht, also weder von Über- noch von Unterbewertung ausgeht, kann eine subjektive Fehlbewertung nicht mehr zur Entscheidungsgrundlage gemacht werden. Bei einer subjektiven up-Wahrscheinlichkeit von etwa 47 % sieht der Investor das Wertpapier mit dem Marktpreis von \({P_0} = 100\) als richtig bewertet an. Ein Verkauf lohnt sich für ihn daher nicht, wenn ein Kursgewinn ansteht, den er versteuern müsste. Aber auch bei einem Kursverlust von bis zu 50 (d. h. \({P_{ - 1}} \le 150\)) lohnt sich der Verkauf nicht, sofern die Transaktionskosten 0,25 % betragen und die Verlustverrechnung begrenzt ist.

7 Zusammenfassung

Die Besteuerung von realisierten Kursgewinnen führt nach der einschlägigen Literatur zu einem Lock-in-Effekt, d. h. die Realisation von Kursgewinnen sollte in die Zukunft verlagert oder ganz vermieden werden, Kursverluste sollten dagegen sofort realisiert werden. Für die Entscheidung über den Verbleib eines Wertpapiers im Portfolio eines Investors spielt neben der Höhe eines Kursgewinns oder -verlustes und dessen Besteuerung die subjektive Bewertung des Wertpapiers durch den Investor jedoch eine weitaus gewichtigere Rolle.

Mit der Differenzierung zwischen subjektivem Wert und Marktpreis unterstellen wir dem Investor implizit, dass er entweder glaubt, überlegene Informationen oder überlegene Fähigkeiten zur Informationsverarbeitung zu haben, oder aber der Effizienz des Marktes nicht vertraut. Letzteres ließe sich mit Blick auf die jüngere theoretische Literatur rechtfertigen (vgl. De Long et al. 1990, 1991 oder auch den Überblick in Shleifer 2000).

Hält der Investor das Wertpapier für unterbewertet, mit anderen Worten: ist er optimistisch hinsichtlich der zukünftigen Kursentwicklung, sollte er an seiner Anlage festhalten. Dies gilt so jedoch nur, wenn ein Kursgewinn ansteht. Wenn hingegen bei einem Verkauf ein Kursverlust realisiert werden kann, sollte der Investor das Wertpapier zwecks Verlustrealisation verkaufen und unmittelbar wieder zurückkaufen. Allerdings wird der Vorteil einer solchen Sell&Buyback-Transaktion (oder auch „Wash Sale“) unter Berücksichtigung von Transaktionskosten und einer nur eingeschränkten steuerlichen Geltendmachung von Kursverlusten in aller Regel zunichte gemacht.

Im Falle einer subjektiv wahrgenommenen Überbewertung, d. h. wenn der Investor pessimistisch hinsichtlich der zukünftigen Kursentwicklung ist, sollte er das Wertpapier in aller Regel verkaufen. Wenn mit dem Verkauf ein Kursverlust realisiert werden kann, spricht zusätzlich der steuerliche Vorteil für die Liquidation der Anlage. Aber auch wenn ein Kursgewinn ansteht, ist der Verkauf wegen der Überbewertung und trotz der zu zahlenden Steuern in aller Regel vorteilhaft.

Insbesondere unsere numerischen Berechnungen weisen darauf hin, dass es Investoren anzuraten ist, die Entscheidung über den Verkauf eines Wertpapiers primär auf Basis ihrer Erwartungen zu treffen, sofern überhaupt vom Markt abweichende Erwartungen gebildet wurden. Wir haben die Entscheidung eines Investors über den Verkauf eines risikobehafteten Wertpapiers in Abhängigkeit von dem aktuell zu realisierenden Kursgewinn betrachtet, wobei Kursgewinne im Bereich von -33,3 bis +100 % berücksichtigt wurden. Dabei konnten zunächst die Ergebnisse des analytischen Teils unserer Untersuchung bestätigt werden. Vor allem wurde aber deutlich, dass eine Orientierung allein an den subjektiven Erwartungen hinsichtlich der zukünftigen Kursentwicklung, ohne Berücksichtigung des Vorzeichens des anstehenden Kursgewinns als eine sehr gute Heuristik angesehen werden kann. Damit kann sich der Investor in den von uns betrachteten Konstellationen immer mindestens 99 % des maximal erreichbaren Vermögens sichern. Wenn zudem Transaktionskosten und eine Begrenzung der steuerlichen Verlustverrechnung berücksichtigt werden, kann das Vorzeichen und die Höhe des anstehenden Kursgewinns bei der Entscheidung vernachlässigt werden, ohne dass dies überhaupt einen Einfluss auf das Vermögen des Investors hat. Allein die persönlichen Erwartungen sind von entscheidendem Einfluss auf die Desinvestitionsentscheidung. Die Überlegungen zum Lock-in-Effekt sind insoweit irrelevant.

Fußnoten
1

Vgl. grundlegend Constantinides (1983) und Stiglitz (1983).

 
2

Der Bundesfinanzhof (BFH) hat mit Urteil vom 25.08.2009 (IX R 60/07) entschieden, dass es keinen Gestaltungsmissbrauch im Sinne von § 42 Abgabenordnung (AO) darstellt, wenn ein Anleger identische Wertpapiere mit Verlust verkauft und dieselben am gleichen Tag wieder zurückkauft. Der in diesem Urteil behandelte Fall betraf zwar geltendes Steuerrecht vor Einführung der Abgeltungssteuer, hat aber auch aktuelle Bedeutung. Vor allem ist jedoch zu berücksichtigen, dass der Investor unter der Abgeltungssteuer durch einen Sell&Buyback letztlich keine Steuern spart, sondern nur einen zinslosen Steuerkredit in Anspruch nimmt. Wenn er heute bei einem geringen Marktpreis verkauft und gleich wieder zurückkauft, kann er bei der zukünftigen Liquidation der Anlage nur einen geringeren Einstandspreis steuerlich geltend machen. Folglich muss er auf den dann realisierten Kursgewinn Steuern zahlen, die genau um den Betrag höher sind, den er im Zeitpunkt des Sell&Buyback bei negativem Kursgewinn vom Fiskus bekommen hat. Der Vorteil, den der Investor aus der Inanspruchnahme eines solchen zinslosen Steuerkredits zieht, ist relativ gering. Insoweit kann also auch nicht von einem Gestaltungsmissbrauch gesprochen werden.

 
3

Ein subjektiver Wert resultiert insbesondere aus subjektiven Wahrscheinlichkeiten, die der Investor zukünftigen Dividendenzahlungen und Kursentwicklungen zumisst. Obwohl solche subjektiven Wahrscheinlichkeiten eben nicht objektiv überprüfbar sind, ist deren Verwendung in Entscheidungssituationen grundsätzlich anzuraten (vgl. z. B. Laux 2007, S. 125–129). In der Bewertung von Wertpapieren konkurriert die subjektive Bewertung allerdings stets mit der Bewertung durch den Markt, die letztlich alle anderen subjektiven Bewertungen aggregiert. Daraus resultiert ein hoher Anspruch an die Verwendung subjektiver Erwartungen, der im Text im übernächsten Satz thematisiert wird.

 
4

Harrison und Kreps (1978) zeigen beispielsweise, dass, bei rationalem Verhalten der Anleger mit heterogenen Erwartungen, der gleichgewichtige Preis eines Wertpapiers von dem Barwert der erwarteten Dividendenzahlungen abweichen kann, wobei dies für alle Barwerte, d. h. alle Erwartungen gilt. Auch in weiteren Beiträgen, die wie Harrison und Kreps (1978) auf einer diskreten Modellierung beruhen, liegt der Untersuchungsschwerpunkt auf dem Einfluss von heterogenen Erwartungen auf die gleichgewichtigen Marktpreise von Wertpapieren (vgl. z. B. Varian 1985, 1989; Abel 1990 oder Jouini und Napp 2006). Unter einer stetigen Modellierung haben neben Williams (1977), der den Einfluss subjektiver Erwartungen auf erwartete Renditen in einem Portfoliokontext zeigt, u. a. Basak (2005) und Detemple und Murphy (1994) den Einfluss von subjektiven Erwartungen auf Wertpapierpreise untersucht.

 
5

Auch hier ist wieder der Nach-Steuer-Kapitalkostensatz im Sinne der Rendite nach Steuern einer risikoadäquaten Alternativanlage zu verwenden. Wenn allerdings die Brutto-Rendite der Alternativanlage (teilweise) aus Kursgewinnen resultiert, stellt sich im Mehrperiodenkontext das Problem, dass die Netto-Rendite von der Kursgewinnrealisations-Politik abhängt. Wiese (2007) schlägt in diesem Zusammenhang vor, einen effektiven Kursgewinnsteuersatz in die Bestimmung der Nach-Steuer-Kapitalkosten auf Basis des Brennan-Modells (Brennan 1970) Modells einfließen zu lassen, der unter dem Abgeltungssteuersatz liegt. Damit würde die Steuerstundung durch eine nicht periodische Realisation von Kursgewinnen berücksichtigt. Tatsächlich ist aber die Bestimmung arbitragefreier nachsteuerlicher Kapitalkosten ein noch ungelöstes Problem. Es dürfen nicht einfach Steuerbelastungsfaktoren aufgrund empirisch ermittelter Haltedauern an Kapitalkosten „angeklebt“ werden (vgl. Kruschwitz und Löffler (2004) und Kruschwitz et al. (2010)).

 
6

Vgl. § 20, Abs. 6 EStG. Dabei ist einschränkend zu beachten, dass Verluste aus der Veräußerung von Aktien gemäß § 20 Abs. 6, Satz 5 EStG nur mit Gewinnen aus der Veräußerung von Aktien verrechnet werden können.

 
7

Vgl. insbes. die in Endnote 6 genannte Einschränkung.

 
8

Eine ausführliche Dokumentation der Vorgehensweise stellen wir dem interessierten Leser auf Anfrage gerne zur Verfügung.

 
9

Als Nachsteuerrendite ist hier die Vorsteuerrendite x (1-Steuersatz) angegeben, d. h. \((1 - 0,26375) \cdot 0,1717 = 0,1264\).

 
10

Hold-Till-End“ ist schlechter als „Hold“, wenn der Einstandspreis nur geringfügig unter dem aktuellen Marktpreis liegt. Nur unter dieser Bedingung kann später überhaupt noch ein Kursverlust eintreten, der einen Verkauf vorteilhaft werden lässt. Anderenfalls ist die nach der Wahl von Hold noch bestehende Option auf einen späteren Verkauf (mit Rückkauf) wertlos. Der Unterschied zwischen dem Vermögen bei „Hold“ und dem bei „Hold-Till-End“ ist dann jedoch so gering, dass er in der Abb. 1 nicht erkennbar ist.

 
11

Auch wenn die Unterbewertung nur noch sehr gering ausfällt, ist bei sehr hohen Kursverlusten Hold wegen des steuerlichen Vorteils eines Verkaufs nicht optimal.

 

Danksagung

Für vielfältige und fundierte Hinweise, die wesentlich zur Verbesserung dieses Aufsatzes beigetragen haben, danken wir den beiden anonymen Gutachtern.

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