, Volume 47, Issue 1, pp 75-87

Platonische Körper, Kugelpackungen und hyperbolische Geometrie

Zusammenfassung.

Die Mathematik ist durchdrungen vom Geist der euklidischen Geometrie. Es bleibt eine offene Frage, ob dies gerechtfertigt oder eher ein Resultat der geschichtlichen Entwicklung ist. In diesem Beitrag versuche ich an zwei Beispielen der (sehr!) klassischen Mathematik zu zeigen, dass in der hyperbolischen Geometrie analoge Fragen wie in der euklidischen Geometrie auftreten, dass aber die hyperbolische Geometrie oft reichhaltiger und zugleich “schöner” ist.

Als natürliche Verallgemeinerung der platonischen Körper werden hier Modulkurven zu den Hauptkongruenzuntergruppen der elliptischen Modulkurve eingeführt. Es stellt sich heraus, dass diese unter allen Riemannschen Flächen der gleichen Topologie durch interessante geometrische Eigenschaften ausgezeichnet sind. Klassische zahlentheoretische Probleme finden hier eine geometrische Neuformulierung.

Eingegangen am 16.September 1999 / Angenommen am 12. Dezember 1999