, Volume 159, Issue 1, pp 187-223
Date: 21 Jul 2004

Bilinear eigenfunction estimates and the nonlinear Schrödinger equation on surfaces

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Abstract

We study the cubic non linear Schrödinger equation (NLS) on compact surfaces. On the sphere \(\mathbb{S}^2\) and more generally on Zoll surfaces, we prove that, for s>1/4, NLS is uniformly well-posed in H s , which is sharp on the sphere. The main ingredient in our proof is a sharp bilinear estimate for Laplace spectral projectors on compact surfaces.

Résumé

On étudie l’équation de Schrödinger non linéaire (NLS) sur une surface compacte. Sur la sphère \(\mathbb{S}^2\) et plus généralement sur toute surface de Zoll, on démontre que pour s>1/4, NLS est uniformément bien posée dans H s , ce qui est optimal sur la sphère. Le principal ingrédient de notre démonstration est une estimation bilinéaire pour les projecteurs spectraux du laplacien sur une surface compacte.