, Volume 5, Issue 5, pp 929-978

On the Singular Spectrum for Adiabatic Quasi-Periodic Schrödinger Operators on the Real Line

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Abstract.

In this paper, we study spectral properties of a family of quasi-periodic Schrödinger operators on the real line in the adiabatic limit. We assume that the adiabatic iso-energetic curves are extended along the momentum direction. In the energy intervals where this happens, we obtain an asymptotic formula for the Lyapunov exponent, and show that the spectrum is purely singular.

Résumé. Cet article est consacré à l’étude du spectre d’une famille d’opérateurs de Schrödinger quasi-périodiques sur l’axe réel lorsque les courbes iso-énergétiques adiabatiques sont non bornées dans la direction des moments. Dans des intervalles d’énergies où cette propriété est vérifiée, nous obtenons une formule asymptotique pour l’exposant de Lyapounoff, et nous démontrons que le spectre est purement singulier.

Communicated by Bernard Helffer
submitted 17/06/03, accepted 05/03/04