, Volume 20, Issue 1, pp 33-41

\({\mathbb{C}}\) -Algèbres Normées Préhilbertiennes Vérifiant \(||a^2|| = ||a||^2\)

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Résumé.

Dans ce papier nous montrons que si A est une algèbre complexe, normée, préhilbertienne, algébrique, sans diviseurs de zéro et vérifiant \(||a^2|| = ||a||^2\) pour tout \(a \in A\) . Alors A est de dimension finie et isomorphe à \({{\mathbb{C}}}\) . Ce dernier nous permet de donner des nouveaux résultats plus généraux que ceux du cas absolument valué. De plus nous donnons un exemple d’une C-algèbre normée, Hilbertienne, sans diviseurs de zéro, de dimension infinie et vérifiant \(||a^2|| = ||a||^2\) pour tout \(a \in A\) .

Abstract.

In this paper we prove that if A is a complex, normed, pre-Hilbert, algebraic algebra, without divisor of zero and satisfying \(||a^2|| = ||a||^2\) for all \(a \in A\) . Then A is finite dimensional and isomorphic to \({{\mathbb{C}}}\) . This last allows us to give some new more general results than those of the case absolute valued. Moreover we give an example of a complex, normed, Hilbert, infinite dimensional algebra, without divisor of zero and satisfying \(||a^2|| = ||a||^2\) for all \(a \in A\) .

Received: May 11, 2008. Accepted: June 11, 2008.