, Volume 18, Issue 2, pp 255-267
Date: 24 Mar 2008

Quelques Résultats sur les Algèbres Flexibles Préhilbertiennes sans Diviseurs de Zéro Vérifiant ∥a 2∥ = ∥a2

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Résumé.

Soit A une algèbre réelle. On suppose que l’espace vectoriel A est muni d’une norme ∥.∥ préhilbertienne vérifiant ∥a 2∥ = ∥a2 pour tout \(a \in A\) . Si A est flexible, sans diviseurs de zéro et de dimension ≤ 4, alors A est isomorphe à \({\mathbb{R}}, {\mathbb{C}}, \mathop {\mathbb{C}} \limits^*, {\mathbb{H}}^{(\lambda)}\) ou \({\mathop \mathbb{H} \limits^*}^{(\lambda)}, \lambda \neq \frac{1}{2}\) , ce qui généralise un théorème d’El-Mallah [1]. Si A est flexible, sans diviseurs de zéro, contenant un idempotent central et vérifiant la propriété d’Osborn, alors A est de dimension finie et isomorphe à \({\mathbb{R}}, {\mathbb{C}}, \mathop {\mathbb{C}} \limits^*, {\mathbb{H}}^{(\lambda)}\) , \({\mathop {\mathbb{H}} \limits^*}^{(\lambda)}, {\mathbb{O}}^{(\lambda)}\) ou \({\mathop {\mathbb{O}} \limits^*}^{(\lambda)}, \lambda \neq \frac{1}{2}\) . Enfin nous montrons qu’une algèbre normée préhilbertienne unitaire d’unité e telle que ∥e∥ = 1 est flexible et vérifie ∥a 2∥ = ∥ a2.

Abstract.

Let A be a real algebra. Assuming that a vector space A is endowed with a pre-Hilbert norm ∥.∥ satisfying ∥a 2∥ = ∥a2 for all \(a \in A\) . If A is flexible, without divisor of zero and of a dimension ≤ 4, then A is isomorphic to \({\mathbb{R}}, {\mathbb{C}}, \mathop {\mathbb{C}} \limits^*, {\mathbb{H}}^{(\lambda)}\) or \({\mathop {\mathbb{H}} \limits^*}^{(\lambda)}, \lambda \neq \frac{1}{2}\) , which generalize El-Mallah’s theorem [1]. If A is flexible, without divisor of zero, containing a central idempotent and satisfying Osborn’s properties, then A is finite dimensional and isomorphic to \({\mathbb{R}}, {\mathbb{C}}, \mathop {\mathbb{C}} \limits^*, {\mathbb{H}}^{(\lambda)}\) , \({\mathop {\mathbb{H}} \limits^*}^{(\lambda)}, {\mathbb{O}}^{(\lambda)}\) or \({\mathop {\mathbb{O}} \limits^*}^{(\lambda)}, \lambda \neq \frac{1}{2}\) . Finally we prove that a normed pre-Hilbert algebra with unit e such that ∥e∥ = 1 is flexible and satisfies ∥a 2∥ = ∥a2.