Advances in Applied Clifford Algebras

, Volume 18, Issue 2, pp 269–278

Sur les a Algèbres Préhilbertiennes Vérifiant ∥a2∥ ≤ ∥a2

Article

DOI: 10.1007/s00006-008-0071-1

Cite this article as:
Moutassim, A. & Rochdi, A. AACA (2008) 18: 269. doi:10.1007/s00006-008-0071-1

Résumé.

Soit A une algèbre réelle sans diviseurs de zéro. On suppose que l’espace vectoriel A est muni d’une norme ∥.∥ préhilbertienne vérifiant ∥a2∥ ≤ ∥a2 pour tout \(a \in A\). Alors A est de dimension finie dans chacun des quatre cas suivants :
  1. 1.

    A est commutative contenant un élément non nul a tel que ∥ax∥ = ∥a∥ ∥x∥ pour tout \(x \in A\),

     
  2. 2.

    A est commutative algébrique et ∥a2∥ = ∥a2 pour tout \(a \in A\),

     
  3. 3.

    A est alternative contenant un élément unité e tel que ∥e∥ = 1,

     
  4. 4.

    A est alternative contenant un élément central non nul a tel que ∥ax∥ = ∥a∥ ∥x∥ pour tout \(x \in A\).

     

A est isomorphe à \({\mathbb{R}}, {\mathbb{C}}\) ou \(\mathop {\mathbb{C}} \limits^*\) dans les deux premiers cas et isomorphe à \({\mathbb{R}}, {\mathbb{C}}, {\mathbb{H}}\) ou \({\mathbb{O}}\) dans les deux derniers cas.

Abstract.

Let A be a real algebra without divisor of zero. Assuming that a vector space A is endowed with a pre-Hilbert norm ∥.∥ satisfying ∥a2∥ ≤ ∥a2 for all \(a \in A\). Then A is finite dimensional in the four following cases :
  1. 1.

    A is a commutative containing a nonzero element a such that ∥ax∥ = ∥a∥∥x∥ for all \(x \in A\),

     
  2. 2.

    A is a commutative algebraic and ∥a2∥ = ∥a2 for all \(a \in A\),

     
  3. 3.

    A is an alternative containing a unit element e such that ∥e∥ = 1,

     
  4. 4.

    A is an alternative containing a nonzero central element a such that ∥ax∥ = ∥ a∥∥x∥ for all \(x \in A\).

     

A is isomorphic to \({\mathbb{R}}, {\mathbb{C}}\) or \(\mathop {\mathbb{C}} \limits^*\) in the two first cases and isomorphic to \({\mathbb{R}}, {\mathbb{C}}, {\mathbb{H}}\) or \({\mathbb{O}}\) in the two last cases.

Keywords.

Algèbre préhilbertiennequadratiquepre-Hilbert algebraassociativealternativecommutativequadratic

Copyright information

© Birkhauser 2008

Authors and Affiliations

  1. 1.Laboratoire d’algébre, d’Analyse et Applications (L3A), Département de Mathématiques et Informatique, Faculté des Sciences Ben M’sikUniversité Hassan 2CasablancaMorocco