On copies of $c_0$ in some function spaces

Abstract

If (Ω, Σ, µ) is a probability space and X a Banach space, a theorem concerning sequences of X-valued random elements which do not converge to zero is applied to show from a common point of view that the F-normed space $L_p (\mu ,X)$ of all classes of X-valued random variables, as well as the p-normed space L _p (µ, X) of all X-valued p-integrable random variables with 0 < p < 1 and the space $P_1 (\mu ,X)$ of the µ-measurable X-valued Pettis integrable functions, all contain a copy of $c_0$ if and only if X does. We also show that if is a noncompact hemicompact topological space, then the Banach space $C_0 (\Omega )$ of all scalarly valued continuous functions defined on vanishing at infinity, equipped with the supremum-norm, contains a norm-one complemented copy of $c_0$ .

Resumen

Si (Ω, Σ, µ) es un espacio de probabilidad y X un espacio de Banach, aplicamos un teorema sobre sucesiones de variables aleatorias con valores en X que no convergen a cero para demostrar, desde un punto de vista común, que el espacio F-normado $L_p (\mu ,X)$ de las variables aleatorias p-integrables X-valoradas, con 0 < p < 1, y el espacio $P_1 (\mu ,X)$ de las funciones X-valoradas µ-medibles y Pettis integrables, todos ellos contienen una copia de $c_0$ si y sólo si X también la contiene. Asimismo probamos que si Ω es un espacio topológico hemicompacto no compacto, el espacio de Banach $C_0 (\Omega )$ de las funciones continuas con valores escalares definidas en Ω que se anulan en el infinito, equipado con la norma supremo, contiene una copia de c ₀ norma-uno complementada.