, Volume 23, Issue 1, pp 141-157

On the gravitational field equations arising from the square of the gaussian curvature

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Summary

Field equations which arise from (second order) non-linear Lagrangians are generally of the fourth differential order. If the Lagrangian is scale-invariant the equations admit arbitrary Einstein spaces as solutions, but they will also possess solutions other than these. Excepting the case of conform-invariant Lagrangians, no such additional solutions appear to be known. This paper therefore deals with what may in aV 4 be regarded as the simplest (scale-invariant) Lagrangian,viz. the square of the Gaussian curvatureR. The resulting equations for aspherically symmetric static field whose Gaussian curvature does not vanish everywhere are reduced to a single ordinary non-linear second order equation of deceptively simple appearance. The first few terms of a solution of this equation in the form of a sequence of ascending polynomials are obtained explicitly, two constants of integrations being involved in it. An examination of the corresponding solutions of the original equations shows that these cannot represent spaces asymptotically flat at infinity, a result which is then strengthened by a more direct method. Finally the condition of spherical symmetry is relaxed, and it is shown quite generally that there exist no static, sufficiently often differentiable solutions of the field equations generated byR 2 which are asymptotically flat but whose Ganssian curvature does not vanish everywhere.

Riassunto

Le equazioni del campo che derivano da Lagrangiani non lineari (del secondo ordine) sono generalmente differenziali del quarto ordine. Se il Lagrangiano è invariante scalare le equazioni ammettono come soluzioni spazi einsteiniani arbitrari, ma avranno anche soluzioni diverse da queste. Salvo per i lagrangiani conformemente invarianti, non si conoscono tali soluzioni addizionali. Perciò qui trattiamo quello che in unV 4 può essere considerato il più semplice lagrangiano (invariante scalare), cioè il quadrato della curvatura gaussianaR. Le equazioni che risultano, per un campo statico a simmetria sferica la cui curvatura gaussiana non si annulla in tutti i punti, si riducono ad una sola equazione ordinaria non lineare del secondo ordine di aspetto ingannevolmente semplice. Si ottengono esplicitamente i primi termini di una soluzione di questa equazione nella forma di una successione di polinomi ascendenti, con l’introduzione di due costanti di integrazione. L’esame delle soluzioni corrispondenti delle equazioni originali mostra che queste non possono rappresentare spazi asintoticamente piani all’infinito, e questo risultato è poi riconfermato da un metodo più diretto. Infine si rende meno rigida la condizione di simmetria sferica, e si dimostra in modo del tutto generale che non esistono soluzioni statiche, sufficientemente spesso differenziabili, delle equazioni del campo generate daR 2 che sono asintoticamente piane ma la cui curvatura gaussiana non si annulla in tutti i punti.