CALCOLO

, Volume 15, Issue 1, pp 59–85

Sul grado di precisione di formule di quadratura del tipo di tchebycheff

  • L. Gatteschi
  • G. Vinardi
Article

DOI: 10.1007/BF02576046

Cite this article as:
Gatteschi, L. & Vinardi, G. Calcolo (1978) 15: 59. doi:10.1007/BF02576046

Sommario

In questo lavoro si studiano le due formule di quadratura
$$\int\limits_{ - 1}^1 {(1 - x^2 )^{\lambda - 1/2} f(x)dx = C_n^{ (\lambda )} \sum\limits_{i = 1}^n f (x_{n,i} ) + R_n \left[ f \right]} ,$$
(1)
$$\int\limits_{ - 1}^1 {(1 - x^2 )^{\lambda - 1/2} f(x)dx = A_n^{ (\lambda )} \left[ {f\left( { - 1} \right) + f\left( 1 \right)} \right] + K_n^{ (\lambda )} \sum\limits_{i = 1}^n f (\bar x_{n,i} ) + \bar R_n \left[ f \right]} ,$$
(2)
con 0<λ<1, e si stabiliscono disuguaglianze per il loro gradoN di precisione polinomiale.

I risultati consentono di ritrovare che, nel caso λ=1/2, la (1), conN=n+1 sen è pari eN=n sen è dispari, non esiste pern=8 e pern≥10. La (2), per lo stesso valore λ=1/2 e conN=n+3 sen è pari eN=n+2 sen è dispari, non esiste invece pern≥12.

Si ottengono pure alcune nuove disuguaglianze, di per sé interessanti, relative al primo zero del polinomio ultrasfericoPn(λ) (x) ed alla corrispondente costante di Christoffel.

Abstract

In this paper we study quadrature formulas of the types
$$\int\limits_{ - 1}^1 {(1 - x^2 )^{\lambda - 1/2} f(x)dx = C_n^{ (\lambda )} \sum\limits_{i = 1}^n f (x_{n,i} ) + R_n \left[ f \right]} ,$$
(1)
$$\int\limits_{ - 1}^1 {(1 - x^2 )^{\lambda - 1/2} f(x)dx = A_n^{ (\lambda )} \left[ {f\left( { - 1} \right) + f\left( 1 \right)} \right] + K_n^{ (\lambda )} \sum\limits_{i = 1}^n f (\bar x_{n,i} ) + \bar R_n \left[ f \right]} ,$$
(2)
with 0<λ<1, and we obtain inequalities for the degreeN of their polynomial exactness.

By using such inequalities, the non-existence of (1), with λ=1/2,N=n+1 ifn is even andN=n ifn is odd, is directly proved forn=8 andn≥10. For the same value λ=1/2 andN=n+3 ifn is evenN=n+2 ifn is odd, the formula (2) does not exist forn≥12.

Some intermediary results regarding the first zero and the corresponding Christoffel number of ultraspherical polynomialPn(λ) (x) are also obtained.

Copyright information

© Instituto di Elaborazione della Informazione del CNR 1978

Authors and Affiliations

  • L. Gatteschi
    • 1
  • G. Vinardi
    • 1
  1. 1.Istituto di Calcoli NumericiUniversità di TorinoTorinoItalia