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Literatur
Ce procédé ne permettrait pas d'effectuer la recherche des fonctions primitives des nombres dérivés, ce que permet de faire la totalisation.
Je rappelle qu'un ensemble fermé est un ensemble contenant tous ses points limites. L'ensembleE étant supposé dans (a, b), les intervalles contigus àE sont ceux qui ont pour origines et extrémités,a, b ou des points deE et que ne contiennent à leur intérieur aucun point deE. Ces intervalles étant sans points intérieurs communs, il y en a au plus\(\frac{{b - a}}{l}\) de longueurl, de sorte qu'on peut les classer par ordre de longueur décroissante en convenant, par example, lors-qu'on trouvera plusieurs contigus égaux de les ranger dans l'ordre oú ils se succèdent dea versb. Ces intervalles ainsi rangés sont les intervallesI k du texte.
Nous considérons quea fait partie deE 1, s'il n'existe pas d'intervalle (a, β) dans lequelϕ(x) est constante àε près et nous faisons une convention analogue pourb.
Moyennant une précaution analogue à celle déjà prise concernant les conditions que devront remplira etb pour appartenir ou non àE 2.
L'ensembleE λ peut être défini comme l'ensemble des points communs à tous les ensemblesE 1,E 2, … donnés par les opérations précédentes; il ne dépend donc d'aucun choix. Au contraire, dans la définition desf ε , nous ne nous sommes pas astreint à introduire assez de conditions pour que ces fonctions ne dépendent plus d'aucun choix, même dans le cas simple d'une fonctionf ε linéaire donnée par notre première remarque. Il n'y aurait aucune difficulté à préciser la définition des fonctionsf ε de façon qu'elles soient uniquement déterminées; mais cela n'aurait aucune importance, ni aucun intérêt véritable.
On remarquera que je n'utilise nullement la théorie de la mesure, je me sers seulement dumot “mesure”; mais je définis, pour l'ensemblee, ce qu'il signifie, sans avoir besoin d'aucune théorie générale.
On pourra prendre l'exposé de ces procédés que donne M. Baire dans son livre:Leçons sur les fonctions discontinues; mais on pourrait se reporter à tout autre exposé conduisant non seulement à la démonstration duthéorème de M. Baire mais aussi, comme dit M. de la Vallée-Poussin, à la solution duproblème de M. Baire. C'est-à-dire qu'il faut écarter les raisonnements qui, comme ceux que j'ai donnés, fournissent un théorème d'existence de la série mais ne donnent pas un procédé régulier de construction de la série. Il y a fort longtemps que j'ai signalé la différence essentielle entre les deux espèces de démonstrations possibles (Journ. de Math. t. I, 1909, p. 176 en note et p. 183; C. R. t. CXXXIX, 1904); celles qui ne fournissent que le théorème d'existence peuvent ne pas faire appel à un procédé transfini tandis qu'un tel procédé parait indispensable pour la résolution du problème de M. Baire.
D'une façon plus précise l'intégration terme à terme de la série donnantϕ ɛ(x, A, B) (x A, B) fournirait-niraitf ε (x, A, B).
En d'autres termes, la série donnantϕ ɛ (x, A, B) n'est pas en général intégrable terme à terme dans tout (A, B), mais seulement dans les parties de (A, B) limitées par les points deE 2 qui sont dans (A, B).
En d'autres termes,f ε (x, A, B) est définie par l'intermédiaire de l'intégration terme à terme d'une série servant à la définition deϕ ɛ (x, A, B). Je parle de séries servant à la définition deϕ ɛ (x, A, B) et non pas des séries de fonctions continues convergeant versϕ ɛ (x, A, B), bein qu'il paraisse vraisemblable qu'on puisse rendre celles-ci intégrables terme à terme.
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Lebesque, H. Sur la recherche des fonctions primitives. Acta Math. 49, 245–262 (1927). https://doi.org/10.1007/BF02564114
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02564114