Computing

, Volume 7, Issue 1, pp 17–24

A note on the ε-algorithm

Authors

  • J. B. McLeod
    • Wadham College
Article

DOI: 10.1007/BF02279938

Cite this article as:
McLeod, J.B. Computing (1971) 7: 17. doi:10.1007/BF02279938

Summary

This paper contains the proof of a fundamental algebraic results in the theory of the vector ε-algorithm. The relationships of this algorithm involve the addition, subtraction and inversion of vectors of complex numbers: the first two operations are defined by component-wise addition and subtraction; the inverse of the vectorz=(z1 ...,zN) is taken to be
$$z^{ - 1} = \frac{{(\bar z_1 ,...,\bar z_N )}}{{\sum\limits_{i = 1}^N {\left| {z_i } \right|^2 } }}$$
where the bar denotes a complex conjugate. It is proved that if vectorsεs(m) can be constructed from the initial valuesε−1(m)=0, (m=1,2,...),ε0(m)=sm, (m=0,1, ...) by means of the relationshipsεs+1(m)=εs-1(m+1)+(εs(m+1)-εs(m))−1, (m, s=0,1, ...); and if the recursion relations\(\sum\limits_{i = 0}^n {\beta _i s_{m + i} = \left( {\sum\limits_{i = 0}^n {\beta _i } } \right)} a,(m = 0,1,...)\) hold for the initial values, where the coefficients βi(i=0,1,...,n) are real and βn≠0, then form=0,1, ...,ε2s(m)=a, if\(\sum\limits_{i = 0}^n {\beta _i } \ne 0\) andε2s(m)=0, if\(\sum\limits_{i = 0}^n {\beta _i } = 0\).

Bemerkung zum ε-Algorithmus

Zusammenfassung

Diese Arbeit beinhaltet ein fundamentales algebraisches Ergebnis der Theorie des vektoriellen ε-Algorithmus. Als Verknüpfungen dieses Algorithmus werden verwendet die Addition, die Subtraktion und der inverse Vektor mit komplexen Komponenten. Die ersten beiden Operationen sind definiert durch komponentenweise Addition beziehungsweise Subtraktion. Seiz=(z1, ...,zN) ein vorgegebener Vektor, so soll der inverse Vektor auf folgende Weise gebildet werden.
$$z^{ - 1} = \frac{{(\bar z_1 ,...,\bar z_N )}}{{\sum\limits_{i = 1}^N {\left| {z_i } \right|^2 } }},$$
wobei der Querstrich die konjugiert komplexe Zahl bedeutet. Unter der Voraussetzung, daß der Vektorεs(m) aus den Anfangsbedingungenε−1(m)=0, (m=1, 2, ...),ε0(m)=sm, (m=0,1, ...) mittels der Beziehungenεs+1(m)=εs-1(m+1)+(εs(m+1)-εs(m))−1, (m, s=0,1,...) gebildet werden kann und unter der weiteren Voraussetzung, daß die Rekursionsformel\(\sum\limits_{i = 0}^n {\beta _i s_{m + 1} = \left( {\sum\limits_{i = 0}^n {\beta _i } } \right)} a,(m = 0,1,...)\) (m=0,1,...) auch für die Anfangsbedingungen gilt, wobei die Koeffizienten βi (i=0,1,...,n) reell und ungleich Null sein sollen, wird fürm=0,1, ... bewiesen, daß die Beziehungenε2n(m)=a gilt für\(\sum\limits_{i = 0}^n {\beta _i } \ne 0\) undε2n(m)=0 gilt, wenn\(\sum\limits_{i = 0}^n {\beta _i } = 0\).

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© Springer-Verlag 1971