, Volume 10, Issue 2, pp 165-173

Numerical calculation of storage and loss modulus from stress relaxation data for linear viscoelastic materials

Purchase on Springer.com

$39.95 / €34.95 / £29.95*

Rent the article at a discount

Rent now

* Final gross prices may vary according to local VAT.

Get Access

Summary

Numerical formulae are given for calculation of storage and loss modulus from the known course of the stress relaxation modulus for linear viscoelastic materials. These formulae involve values of the relaxation modulus at times which are equally spaced on a logarithmic time scale. The ratio between succeeding times corresponds to a factor of two.

Bounds for the relative error of those formulae were derived. These bounds depend on the value of the damping, tanδ, at the angular frequency,ω. The lower the damping values, the easier is the calculation of the storage modulus. This calculation involves the value of the relaxation modulus at timet 0=1/ω, and that of its derivative with respect to the logarithm of time in a rather narrow region aroundt 0. By contrast, the calculation of the loss modulus is difficult. This calculation involves the value of the derivative of the relaxation modulus with respect to the logarithm of time in a broad interval aroundt 0. Especially the behaviour of the relaxation modulus at timest<t 0 affects the calculation of the loss modulus significantly. The consequences of this “short time truncation problem” for the calculation of the loss modulus are discussed.

If the results of dynamic measurements are available in the short time region in addition to those of the stress relaxation measurement in the long time region, the calculation of the loss modulus from the stress relaxation measurement is considerably simplified. The short time truncation problem can then be solved by using information aboutG″ as obtained from the dynamic measurements at short times (high frequencies).

Zusammenfassung

Numerische Formeln werden gegeben, die die Berechnung des dynamischen Moduls aus der Spannungsrelaxationskurve ermöglichen. In diesen Formeln treten Werte der Spannungsrelaxationskurve auf, die zu logarithmisch äquidistanten Zeitpunkten gemessen wurden. Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zeitpunkte entspricht stets einem Faktor 2.

Für alle Formeln werden obere und untere Schranken für den relativen Fehler abgeleitet. Diese Schranken hängen vom Werte der Dämpfung (tanδ) ab, die bei der Kreisfrequenz ω auftritt, für die die Berechnung erfolgt. Die Berechnung der Speicherkomponente des dynamischen Moduls ist desto leichter, je niedriger der Wert der Dämpfung ist. Zu dieser Berechnung benötigt man den Wert der Spannungsrelaxationsfunktion zum Zeitpunktt 0=1/ω, und deren logarithmische Zeitableitung in einem ziemlich engen Zeitintervall umt 0. Die Berechnung der Verlustkomponente des dynamischen Moduls ist umständlich, Zu dieser Berechnung benötigt man den Wert der logarithmischen Zeitableitung der Spannungsrelaxationsfunktion in einem breiten Zeitintervall umt 0. Insbesondere erfordert diese Berechnung viel Information über den Verlauf der Spannungsrelaxationskurve bei Zeitent<t 0. Die Folgerungen dieses bei der Berechnung vonG″(ω) auftretenden „Kurzzeit-Verstümmelungsproblemes“ werden auseinandergesetzt.

Wenn neben den Ergebnissen der Spannungsrelaxationsmessung im Langzeitbereich noch solche einer Schwingungsmessung im Kurzzeitbereich zur Verfügung stehen, kann das Problem der Berechnung des Verlustmoduls aus der Spannungsrelaxationskurve wesentlich vereinfacht werden.

Paper presented at the Symposium at Leende of “De Nederlandse Rheologische Vereniging” on 21st and 22nd May 1970.