Article

Analysis Mathematica

, Volume 5, Issue 3, pp 249-255

First online:

Generalization of some results concerning Walsh series and the dyadic derivative

  • W. R. WadeAffiliated withDepartment of Mathematics, University of Tennessee
  • , В. А. СкворцовAffiliated withМОСКО ВСКИ Й ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УН ИВЕРСИТЕТ ИМ. М. В. ЛОМО НОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕ МАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕ Т

Rent the article at a discount

Rent now

* Final gross prices may vary according to local VAT.

Get Access

Обобщение некоторых результатов, касающи хся рядов Уолша и двоично й производной

Abstract

Обобщаются некоторы е недавние результат ы, связанные с поточечным диффере нцированием, введенным Гибсом, Бут цером и Вагнером и предназначенным для почленного дифференцирования р ядов Уолша. Наряду с об общением, целью статьи являетс я дать существенно более простые доказа тельства обобщаемых результатов. Устанавливается, что для рядов Уолша\(\sum\limits_{k = 0}^\infty {a_k w_k (x)} \), коэффициенты которы х удовлетворяют условию
двоичная дифференци руемость суммы ряда У олша в произвольной точкеx∈(0,1),x≠2j ,j=1,2,..., эквивалентна сходим ости в этой точке посл едовательности част ичных сумм этой точке последова тельности частичных сумм с номерами 2 n ряда\(\sum\limits_{k = 0}^\infty {ka_k w_k (x)} \). Тем самым обобщается теорема Шиппа о почле нном двоичном дифференци ровании ряда Уолша, коэффицие нты которого удовлет воряют условиюka k ↓ 0 приk→∞ приk→∞. Доказывается также, ч то если непрерывная н а (0, 1) функция имеет конечную двоич ную производную всюду, кр оме, быть может, счетно го множества, то она явля ется постоянной. Этот результат обобщ ает теорему Бутцера и Вагнера, где дополнительно предп олагалась непрерывность произ водной.