On the error function of a complex argument

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Zusammenfassung

In der Einleitung werden die wichtigsten bisherigen Arbeiten über die Fehlerfunktion mit komplexem Argument kurz besprochen. Die der vorliegenden Untersuchung unterworfene FunktionK(z) ist in Gleichung (1) definiert. Mit Hilfe der Laplace-Transformation und ihrer Umkehrformel wird gezeigt, wie sich die zwei Identitäten in Gleichung (3) behandeln lassen, so dass sowohl der Real-als auch der Imaginärteil der FunktionK(z) sich in zwei Teile aufspalten lässt, was aus den Gleichungen (9) und (9a) hervorgeht. Der erste Teil kann durch elementare Funktionen ausgedrückt werden, während der zweite Teil sich durch zwei Integrale darstellen lässt. Für die praktische Anwendung der angegebenen Ausdrücke sind in den Gleichungen (12), (12a) und (14a), (14b) die Ausdrücke in kartesischen bzw. polaren Koordinaten umgeschrieben worden. Der Vorteil der angegebenen Aufspaltung liegt darin, dass die in den Ausdrücken auftretenden Integrale monoton abnehmende Funktionen der unabhängigen Veränderlichen (x, y) darstellen und sich deswegen leicht numerisch ausrechnen lassen. Der Schwingungsanteil der FunktionK(z) ist ausschliesslich durch elementare Funktionen ausgedrückt. Im Appendix ist der Rechnungsvorgang, der zu den angegebenen Ausdrücken führt, näher umschrieben.