Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik ZAMP

, Volume 38, Issue 5, pp 730–740

Remarks on eigenvalues and eigenfunctions of a special elliptic system

  • Bernhard Kawohl
  • Guido Sweers
Original Papers

DOI: 10.1007/BF00948293

Cite this article as:
Kawohl, B. & Sweers, G. Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP) (1987) 38: 730. doi:10.1007/BF00948293

Abstract

LetΛ1(Ω) be the first eigenvalue of the vector-valued problem
$$\begin{gathered} \Delta u + \alpha grad div u + \Delta u = 0 in \Omega , \hfill \\ u = 0 in \partial \Omega , \hfill \\ \end{gathered} $$
, withα>0. Letλ1(Ω) be the first eigenvalue of the scalar problem
$$\begin{gathered} \Delta u + \lambda u = 0 in \Omega , \hfill \\ u = 0 on \partial \Omega . \hfill \\ \end{gathered} $$
.
The paper contains a proof of the inequality
$$\left( {1 + \frac{\alpha }{n}} \right)\lambda _1 \left( \Omega \right) > \Lambda _1 \left( \Omega \right) > \left( \Omega \right)$$
and improves recent estimates of Sprössig [15] and Levine and Protter [11]. Moreover we show, ifΩ is a ball, that an eigensolution u1, associated withΛ1(Ω) is not unique and that the eigensolutions for this and higher eigenvalues are never rotationally invariant. Finally we calculate some eigensolutions explicitly.

Zusammenfassung

Es SeiΛ1(Ω) der erste Eigenwert des vektorwertigen Problems
$$\begin{gathered} \Delta u + \alpha grad div u + \Delta u = 0 in \Omega , \hfill \\ u = 0 auf \partial \Omega , \hfill \\ \end{gathered} $$
, wobeiα>0. Es seiλ1(Ω) der erste Eigenwert des skalaren Problems
$$\begin{gathered} \Delta u + \lambda u = 0 in \Omega , \hfill \\ u = 0 auf \partial \Omega . \hfill \\ \end{gathered} $$
In der Arbeit wird ein Beweis der Ungleichung
$$\left( {1 + \frac{\alpha }{n}} \right)\lambda _1 \left( \Omega \right) > \Lambda _1 \left( \Omega \right) > \left( \Omega \right)$$
gegeben. Damit werden frühere Abschätzungen von Sprössig [2] sowie Levine und Protter [1] verbessert.

Es kann auch gezeigt werden, fallsΩ eine Kugel ist, daß eine Eigenlösungu1, nicht eindeutig ist, und daß die Eigenlösungen für diesen und höhere Eigenwerte nicht rotationsinvariant sind. Für spezielle Rhombusgebiete lassen sich Eigenlösungen explizit angeben.

Copyright information

© Birkhäuser Verlag Basel 1987

Authors and Affiliations

  • Bernhard Kawohl
    • 1
  • Guido Sweers
    • 2
  1. 1.Sonderforschungsbereich 123 der UniversitätHeidelbergWest Germany
  2. 2.Faculteit der Wiskunde en InformaticaTechnische UniversiteitBL DelftThe Netherlands