Generalization of some results concerning Walsh series and the dyadic derivative

Abstract

Обобщаются некоторы е недавние результат ы, связанные с поточечным диффере нцированием, введенным Гибсом, Бут цером и Вагнером и предназначенным для почленного дифференцирования р ядов Уолша. Наряду с об общением, целью статьи являетс я дать существенно более простые доказа тельства обобщаемых результатов. Устанавливается, что для рядов Уолша$\sum\limits_{k = 0}^\infty {a_k w_k (x)}$, коэффициенты которы х удовлетворяют условию

двоичная дифференци руемость суммы ряда У олша в произвольной точкеx∈(0,1),x≠2^−j,j=1,2,..., эквивалентна сходим ости в этой точке посл едовательности част ичных сумм этой точке последова тельности частичных сумм с номерами 2ⁿ ряда$\sum\limits_{k = 0}^\infty {ka_k w_k (x)}$. Тем самым обобщается теорема Шиппа о почле нном двоичном дифференци ровании ряда Уолша, коэффицие нты которого удовлет воряют условиюka _k ↓ 0 приk→∞ приk→∞. Доказывается также, ч то если непрерывная н а (0, 1) функция имеет конечную двоич ную производную всюду, кр оме, быть может, счетно го множества, то она явля ется постоянной. Этот результат обобщ ает теорему Бутцера и Вагнера, где дополнительно предп олагалась непрерывность произ водной.