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Literatur
J. H. Grace, The zeros of a polynomial. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society11 (1900–1902), S. 352–357.
Solche Gleichungen bezeichne ich im folgenden kurz als apolar
Bezüglich der Bezeichnung “Kreisbereich” vgl. man § 1.
Diese Sätze sind auch von Herrn J. Egerváry bewiesen worden in einer Arbeit, die ungarisch erscheinen wird. Sein Beweis stützt sich auf ähnliche Betrachtungen, wie sie von Heawood für einen spezielleren Satz angewendet worden sind. (Vgl. a. a. O.18).)
Ist ξ=∞, so sollen diese Gleichungen, im Einverständnis mit den frühere Festsetzungen, so gelesen werden:s γ−1=0.
Ist ξ=∞, so bedeutet dies:A′ (x) ≠0.-Die Behauptung (2) ist eigentlich mit einem Theorem von Laguerre gleichwertig. Vgl. a. a. O.25).
Auf diese Formulierung des Faltungssatzes hat mich Herr I. Schur aufmerksam gemacht.
Vgl. Egervary, a. a. O.4. — An dieser Stelle erwähne ich, daß auch Herr A. Cohn einen Beweis für Satz 3 gegeben hat, der — kurz skizziert — auf dem folgenden Gedanken beruht: Er wirft mit Hilfe einer linearen Transformation des Einheitskreises in sich die eine Wurzel der gegebenen (E)-Gleichung in den Nullpunkt hinein, wodurch die sog. algebraische Invariante der gegebenen Gleichungen sich nicht wesentlich ändert und sich anderseits die unmittelbare Möglichkeit bietet, die Behauptung auf Gleichungen (n-1)-ten Grades zurückzuführen.
A. a. O. 4) . — Durch diesen Satz ist eine Fragestellung von Laguerre [Oeuvres1 (1898), S. 199–200] endgültig erledigt. Vgl. noch G. Pólya, Question 4240 [Interméd. des math.20, (1913), S. 145–146], wo der Satz als Vermutung formuliert ist.
Vgl. auch Egerváry, a. a. O.4). — J. Schur, Zwei Sätze über algebraische Gleichungen mit lauter reellen Wurzeln [Journ. f. d. reine u. angewandte Mathematik,144 (1914), S. 75–88], sowie auch G. Pólya und J. Schur, Über zwei Arten von Faktorenfolgen in der Theorie der algebraischen Gleichungen (Ebenda, S. 89–113).
P. J. Heawood, Geometrical relations between the roots off(x)=0,f'(x)=0 [Quarterly Journal. of Mathematics,38 (1907), S. 84–107].
A. a. O.1), S. 356.
Vgl. Grace, a. a. O.1), Heawood, a. a. O.18).
Vgl. Grace, a. a. O.1), Heawood, a. a. O.18).
Vgl. etwa E. Heine, Theorie der Kugelfunktionen, Zweite Auflage (Berlin, G. Reimer, 1878),1, S. 35.
Sur la résolution des équations numériques (Nouvelles Annales de Mathématiques), (2)17 (1878) und Oeuvres de Laguerre,1 (1898), S. 56–63.
Istk' (ξ)=0, so ist diese Wurzel als im unendlich fernen Punkt gelegen aufzufassen.
A. a. O.25). Umgekehrt läßtsich aus diesem Satz von Laguerre der im Text stehende Satz einfach ableiten.
D. h. Kreis oder Gerade.
Dies ist natürlich immer unter zugrundelegung einer bestimmten Schar von Kurven zu verstehen; etwa wie hier, unter Zugrundelegung der homofokalen Ellipsen (bzw. Hyperbeln und Parabeln) mit den oben angegebenen Brennpunkten.
Vgl. etwa L. Feiér, Über Kreisgebiete, in denen eine Wurzel einer algebraischen Gleichung liegt [Jahresbericht der deutschen Math. Vereinigung26 (1917), S. 114–128], S. 123.
Vgl. etwa Pascalsches Repertorium, 2. Aufl. (B. G. Teubner, 1910, Erste Hälfte, Kapitel V (von H. E. Timerding), S. 378. — Ich verdanke Herrn Ostrowski, meine Aufmerksamkeit auf diesen Satz gelenkt zu haben.
Vgl. a. a. O.30).
Herr Fekete hat mich aufmerksam gemacht, daß Satz 20 auch direkt aus dem Faltungssatze gefolgert werden kann.
J. W. Alexander, II., Functions which map the interior of the unit circle upon simple regions [Annals of Mathematics, (2),17, (1915), S. 12–22]. — S. Kakeya, On zeros of a polynomial and its derivatives [Tôhoku Mathematical Journal,11 (1917), S. 5–16].
Vgl. Kakeya, a. a. O.34).
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Szegö, G. Bemerkungen zu einem Satz von J. H. Grace über die Wurzeln algebraischer Gleichungen. Math Z 13, 28–55 (1922). https://doi.org/10.1007/BF01485280
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