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Dimensionstheorie

Ein Beitrag zur Geometrie der abgeschlossenen Mengen

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  1. Vgl. hierzu die allgemeinen Fragestellungen in meiner Arbeit “Zum allgemeinen Dimensionsproblem”, Nachr. d. Gesellsch. d. Wiss. zu Göttingen, 6. Juli 1928, sowie “Untersuchungen über Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen beliebiger Dimension”, Annals of Mathematics (2)30 (1928), S. 101–187. Diese Arbeiten werden im folgenden als “Dimensionsproblem” bzw. “Gestalt und Lage” zitiert.

  2. Diese Reihe beginnt mit der kurzen Brouwerschen Note “Invarianz der geschlossenen Kurve”, Math. Annalen72 (1912), S. 422–425, in der die geometrische Topologie der abgeschlossenen Mengen im modernen Sinne des Wortes begründet wurde. Die allgemeine Fragestellung wurde aufgegriffen in der Arbeit des Verfassers “Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie”, Math. Annalen96 (1926), S. 488–511; darauf folgen mit wesentlichen Beiträgen die Arbeiten von Vietoris, Math. Annalen97 (1927), S. 454–472 und von Lefschetz, Proceed. Nat. Acad.13 (1927), S. 614–622 und 805–807. Vgl. auch die in der vorigen Fußnote zitierten Arbeiten.

  3. Ein Polyeder ist eine Punktmenge, die sich in endlich viele (nicht notwendig gleichdimensionale) Simplexe zerlegen läßt, so daß der Durchschnitt zweier Simplexe dieser Zerlegung entweder leer oder eine gemeinsame Seite der beiden Simplexe ist. Die Höchstdimension der bei einer solchen Zerlegung auftretenden Simplexe heißt die Dimension des Polyeders. Die Definition eines Simplexes wird vollständigkeifshalber in §2, Nr. 17, wiedergegeben.

  4. Siehe wegen des Beweises “Gestalt und Lage” Kap. I, Nr. 4-11, S. 115–120.

  5. Alle diese Begriffe sind im §2 zusammengestellt.

  6. Rec. Math. Moscou.

  7. Vgl. Pontrjagin, Comptes rendus190 (1930), S. 1105–1107, sowie eine demnächst in den Math. Annalen erscheinende ausführliche Darstellung.

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  8. Im Falle “modulom” ist natürlich auch die Berandung nach dem betreffenden Modul gemeint. Übrigens ist in diesem Satz als Spezialfall enthalten, daß derR n im Sinne aller erwähnten “Dimensionstheorien”n-dimensional ist.

  9. Dieser Zusammenhang bildet bereits den Hintergrund der klassischen Brouwerschen Untersuchungen über die Invarianzsätze dern-dimensionalen Topologie, Math. Annalen70, 71.

  10. Vgl. Fußnote 48).

  11. Die Gebilde, die ich in “Gestalt und Lage” geschlossene Cantorsche Mannigfaltigkeiten genannt habe, sind die “Cantorschen Mannigfaltigkeiten modulo 2” (s.u.).

  12. Es sei mir bei dieser Gelegenheit gestattet, zu den Untersuchungen von Herrn Menger über die Axiomatik des Dimensionsbegriffes (Monatsh. f. Math. u. Phys.36 (1930), S. 193) Stellung zu nehmen. Auch wenn der Ansatz des Herrn Menger sich für denn-dimensionalen Raum (und nicht, wie heute, bloß für die Ebene) durchführen ließe — was übrigens unter Benutzung des bereits erwähnten “allgemeinen dimensionstheoretischen Rechtfertigungssatzes” wohl auch gelingen dürfte —, kann ich ihn nicht als einen befriedigenden Weg zur axiomatischen Einführung des Dimensionsbegriffes betrachten, und zwar aus folgenden beiden Gründen. 1. Die Axiome des Dimensionsbegriffes sollen — um Anspruch auf eine wirkliche Lösung des Problems erheben zu dürfen — Eigenschaften der Dimension hervorheben, die wirklich etwas mit dem anschaulichen Wesen der Dimension zu tun haben, so daß, wenn nicht “jeder Mensch auf der Straße”, so doch wenigstens jeder Mathematiker sich gezwungen fühlt, zuzugeben, daß ohne die betreffende Eigenschaft kein vernünftiger Dimensionsbegriff existieren kann. Diese Eigenschaften sollen fernergeometrisch sein, d. h. auch im Falle der einfachsten geometrischen Gebilde, z. B. der Polyeder, etwas aussagen. Z. B. drückt der endliche Summensatz (“eine abgeschlossene Menge kann nicht als Summe von endlich vielen abgeschlossenen Mengen niedrigerer Dimension dargestellt werden”) oder auch das Brouwersche Invarianzprinzip (siehe oben Nr. 5) zweifellos solche Eigenschaften aus; beide Sätze bleiben übrigens durchaus auch im Falle, wenn die betreffende Menge ein Polyeder ist, inhaltvoll. Wie steht nun die Sache mit den Axiomen Herrn Mengers? Wenn man sich mit der Einführung des vollen (“abzählbaren”) Summensatzes als eines dimensionstheoretischen Axioms noch durchaus einverstanden erklären kann, so erfüllt daswesentlichste der Mengerschen Axiome keineswegs die obige Bedingung: wer kann tatsächlich als einenotwendige Eigenschaft der Dimension die Eigenschaft betrachten, daß jede nicht abgeschlossene Menge einer Teilmenge einer gleichdimensionalen beschränkten abgeschlossenen homöomorph ist?! Mit demselben Recht könnte man ja verlangen, daß jeden-dimensionale nicht abgeschlossene Menge eine Teilmengeenthält, welche einer gleichdimensionalen beschränkten abgeschlossenen Menge homöomorph ist — gerade die Analogie mit der Maßtheorie, die Herr Menger so sehr betonen will, legt eine solche Symmetrie der Bedingungen nahe. Wie wenig anschaulich das Axiom von Herrn Menger ist, sieht man auch daran, daß er sich ursprünglich (in einer im Wiener Akademischen Anzeiger erschienenen Voranzeige seiner Arbeit) anstatt der abgeschlossenen Mengen derG δ-Mengen bediente — man muß zugeben, a priori mit demselben Recht.Die Axiomatik von Herrn Menger ist ein typisches Beispiel einer Axiomatik ad hoc, die von vornherein auf eine bestimmte Dimensionsdefinition zugeschnitten ist, welche sie zu rechtfertigen hat. Das berühmte Kleinsche Prinzip, daß jedes neue Axiom, welches man einführt, mindestens eine von dem unmittelbaren Zweck seiner Einführung verschiedene Anwendung haben soll, wird von Herrn Menger ganz außer acht gelassen. Wie interessant das Ergebnis von Herrn Menger an und für sich auch sein möge, eineKlärung des Wesens der Dimension (wie wir sie von einem axiomatischen Aufbau der Dimensionstheorie erwarten dürften) bringt es nicht mit sich. 2. Als einen weiteren Nachteil der Axiomatik Herrn Mengers betrachte ich die Unmöglichkeit, aus ihr eine Axiomatik für die Dimension derabgeschlossenen Mengen zu bekommen: die dimensionstheoretischen Eigenschaften der nichtabgeschlossenen Mengen entziehen sich einstweilen jedergeometrischen Behandlung, lassen auch angesichts der vorhandenen Beispiele keine Hoffnung auf eine Besserung dieses Zustandes entstehen; deswegen macht eine Gegrümdung der Dimensionstheorie, die voraussetzt, daß man auch bei der Betrachtung allein der abgeschlossenen Mengen notwendig die nicht abgeschlossenen Mengen berücksichtigen muß, eine Geometrisierung der ganzen Theorie unmöglich.

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  13. Der Satz, daß diese Definition mit der ursprünglichen Brouwerschen (induktiven) Dimensionsdefinition äquivalent ist, wurde von Urysohn bewiesen (vgl. Comptes rendus175 (1922), S. 440 und Fund. Math.8 (1926), S. 300–301). Es sei in diesem Zusammenhange auch daran erinnert, daß Lebesgue der erste war, der in der obigen Überdeckungseigenschaft das Wesen der Dimensionszahl der Euklidischen Räume erkannt hat (bewiesen hat den entsprechenden Satz für denR n allerdings erst Brouwer in seiner die Dimensionstheorie begründenden Arbeit, Crelle142 (1913), S. 146–152).

  14. Unter einer ε-Überführung einer MengeFR n in eine MengeF′⊂R n versteht man eine stetige Abbildung vonF aufF′, bei der jeder Punkt vonF von seinem Bildpunkt um weniger als ε entfernt ist. Der Überführungssatz wurde zum erstenmal vom Verfasser in den Comptes rendus183 (1926), S. 640 und Math. Annalen98 (1928), S. 617 bewiesen. Einen einfachen Beweis findet der Leser in “Gestalt und Lage”, S. 115–120.

  15. Ein Element ist eine Menge, die einem Simplex homöomorph ist. In unserem Falle dürfen wir offenbar stets voraussetzen, daß das betreffende Element ein Simplex, ein Würfel oder eine Vollkugel ist.

  16. Grundsimplexe einer Simplizialzerlegung sind Simplexe dieser Zerlegung, die zu keinem Simplex derselben Zerlegung als Seiten gehören.

  17. Es ließe sich auch der Begriff einer simplizialen Approximation einer stetigen Abbildung vonF auf ein beliebiges Polyeder leicht definieren.

  18. Die Gebilde, die ich in “Gestalt und Lage” geschlossene Cantorsche Mannigfaltigkeiten genannt habe, sind die “Cantorschen Mannigfaltigkeiten modulo 2” (s.u.). S. 17.

  19. In den ersten Nummern dieses Paragraphen werden die Grundbegriffe der Topologie der Komplexe, soweit sie in dieser Arbeit benutzt werden, kurz zusammengestellt. Diese Zusammenstellung erhebt natürlich keinen Anspruch darauf, eine systematische Darstellung zu ersetzen; wegen einer solchen möge z. B. auf das Buch von Lefschetz “Topology” (New York 1931) hingewiesen werden, wo der Leser übrigens auch eine recht vollständige Bibliographie findet. Vgl. auch den ersten Abschnitt des zweiten Kapitels der Arbeit von, Pontrjagin “Über den algebraischen Inhalt topologischer Dualitätssätze” (Math. Annalen105 (1931), S. 165).

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  20. Wir sagen dafür auch “gewöhnlicher” algebraischer Komplex, gelegentlich auch “ganzzahliger” Komplex.

  21. Hier und überall in analogen Fällen wird nach dem Indexi summiert

  22. Der Grund für diese Wahl der Bezeichnungen ist der folgende. Im Falle “modulo Null” besitzt der Koeffizientenring (der ja in diesem Falle der Ring aller ganzen Zahlen ist) keine von Null verschiedenen Nullteiler, so daß man auch sagen könnte, daßz∼0 ist, wenn es einen Komplexc und einen von den Nullteilern verschiedenen Koeffizientenc gibt, so daßCc z ist. Wenn man nundiese Definition der Homologie auf den Fallm>0 anwendet, ergibt sich, daß die Zeichen ∼ und ≅ gleichbedeutend sind (denn man kann ja, wennc kein Nullteiler ist, durchc dividieren). Falls insbesonderem eine Primzahl ist, folgt aus der Existenz einesCc z (c≠0) die Existenz einesC'z; dasselbe gilt auch für rationale Koeffizienten.

  23. Ausschließlich aus Bequemlichkeitsgründen (s. u.).

  24. Um die Abhängigkeit der Modulnm k vonk besonders zu betonen, werden wir gelegentlich den Zyklus.Z r auch einenZyklus nach variablem Modul nennen.

  25. Vgl. Lefschetz, Annals of math. (2)29 (1928), S. 232–254.

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  26. Beweis — mutatis mutandis — wie in der Fußnote 25). (“Gestalt und Lage”, An dieser Stelle könnte man übrigens noch ∼ anstatt ≈ schreiben.

  27. In diesem Zusammenhange hat Herr Pontrjagin neuerdings folgenden Satz bewiesen, den man als den 3. Konvergenzsatz bezeichnen könnte:Es sei Z=(z 1,z 2,...,z k ,...)ein Zyklus modulo Null, welcher in F nicht homolog Null ist. Dann gibt es einen konvergenten Zyklus Z′=(z 1 ,z 2 ,...,z k ,...),dessen Elemente (endliche) Linearkombinationen der z k sind und welcher in F (total) unhomolog Null ist.

  28. Gemeint ist folgender Satz:Wenn der algebraische Zyklus z r (modm, m≧0)des Polyeders P⊂R n in P nicht homolog Null ist (modm),so gibt es in R n-P einen mit z r verschlungenen Zyklus z n−r−1. Dieser Satz folgt ohne weiteres aus der Pontrjaginschen Verallgemeinerung des Alexanderschen Dualitätssatzes (s. die in der vorigen Fußnote angegebene Literatur).

  29. R n ist hier durch Hinzufügung des unendlichfernen Punktes zum sphärischen Raum ergänzt worden; der Satz gilt sowohl für den sphärischen als auch für den Euklidischen Raum und braucht nur einmal bewiesen zu werden.

  30. Man könnte auch direkt denkleinsten Träger als die abgeschlossene Hülle der Vereinigungsmenge aller Eckpunkte derz r k definieren; diese Definition würde uns im wesentlichen dieselben Dienste leisten wie die des Textes; in manchen Fällen ist es aber bequem, nicht nurden kleinsten Träger, sondern überhauptdie Träger eines Zyklus (so wie sie im Texte definiert sind) zur Verfügung zu haben: ein konvergenter Zyklus braucht nämlich in seinem kleinsten Träger nicht notwendig konvergent zu sein (vgl. hierzu die nächste Nummer). Man könnte den Begriff des kleinsten Trägers auch auf eine andere Weise einführen (vgl. “Gestalt und Lage”, Math. Annalen72 (1912), S. 422–425, Anhang I).

  31. Lefschetz,. (auch “Topology”).

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  32. D. h. daß je zwei Punkte vonF mittels einer ε-Kette verbunden werden können; unter einer ε-Kette versteht man dabei eine endliche Folge von Punkten, in welcher zwei aufeinanderfolgende Punkte um weniger als ε voneinander entfernt sind (Cantor).

  33. Vgl § 5, Nr. 92.

  34. Diese Bedingung ist, wie man leicht sieht, mit der Hausdorffschen Zusammenhangsdefinition (für einen metrisierbaren Raum, welcher in unserem Falle der RaumF-F′ ist) äquivalent.

  35. Vgl. die ersten Paragraphen des „Dimensionsproblems”.

  36. Da derr−1-dimensionale Zyklus, von dem hier die Rede ist, ein Zyklusschlechtweg, d. h. nach variablem Modul, ist, nennen wir Δ (F) gelegentlich auchDimension nach variablem Modul.

  37. Die geometrische Dimension mod 2 wurde zum erstenmal im „Dimensionsproblem” eingeführt und ziemlich eingehend untersucht.

  38. Für die Brouwersche Dimension beweist man dieses Invarianzprinzip in wenigen Worten (vgl. meine unter Als nicht erreichbare Häufungspunkte der KurveC bezeichnen wir solche, welche nicht erreichbar im obigen Sinne sind). zitierte Annalenarbeit).

  39. H. Hopf,Über wesentliche und unwesentliche Abbildungen von Komplexen, Recueil math. Soc. Math. de Moscou37 (1930), S. 53.

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  40. Vgl. hierzu Lefschetz, Topology, S. 334–335, wo der Verfasser zu Fragestellungen kommt, die den Gegenstand der vorliegenden Untersuchungen nahe berühren.

  41. Ein zugelassener Koeffizient ist ein Element des jeweiligen Koeffizientenringes, welches von den Nullteilern des Ringes verschieden ist.

  42. Vgl. wegen der folgenden Beweismethode Alexander,Combinatory Analysis Situs, Trans. Amer. Math. Soc.28 (1926), S. 328.

  43. Die ε-Modifikationen mod 2 wurden (im Rahmen der Dimensionstheorie mod 2) bereits im „Dimensionsproblem”, § 5, behandelt. Dort findet sich ein Beweis des Rechtfertigungssatzes mod 2, der sich von dem hier gegebenen allgemeinen Beweis nur wenig unterscheidet.

  44. Unter dems-dimensionalen Randkomplex einesr-dimensionalen KomplexesK (r≧8) ist hier der algebraische Komplex Σx i -verstanden, wobei diex i dieirgendwie orientierten s-dimensionalen Simplexe vonK sind.

  45. des jeweiligen Koeffizientenringes, der hierim Falle m=0 der Körper der rationalen Zahlen, im „einfachen” Falle (d. h. im Falle der Brouwerschen Dimension) der Ring der ganzen Zahlen und im Fallem≧2 natürlich der Restklassenring modulom ist.

  46. Das Korollar I ist fürn≧4 und die Brouwersche Dimension zum ersten Mal von Frankl, Math. Annalen103 (1930), S. 784; das Korollar II fürm=2 (also auch das Korollar I fürn=3 und die Brouwersche Dimension) auf einem ganz anderen Wege (unter wesentlicher Benutzung eines Knotensatzes) von Frankl und Pontrjagin, Math. Annalen102 (1930), S. 785 bewiesen. Fürn=2 und dimF wurde ein elementarer Beweis noch von Urysohn gegeben.

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  47. „Dimensionsproblem” Satz VII.

  48. Den Fall mod 2 findet man im „Dimensionsproblem”, Anhang.

  49. Vgl. Tumarkin a. a. O. (Comptes Rendus186 (1928), S. 420)

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  50. Für die Brouwersche Dimension zum erstenmal von Tumarkin (Proceed. Akad. Amsterdam28 (1925), S. 1000) bewiesen.

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  51. Selbstverständlich muß dabeiF unabzählbar viele dimensionelle Komponenten besitzen.

  52. Für die Brouwersche Dimension bewiesen zuerst von Urysohn und Menger.

  53. Vgl. P. Alexandroff, „Metrisation der im kleinen kompakten Räume”, Math. Annalen92 (1924), S. 294.

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  54. Vgl. Menger, Proceed. Akad. Amsterdam29 (1926), S. 482; Jahresber, d. D. M. V.35 (1926) u.36 (1927), S. 149 bzw. 12; Wien. Akad, Akad. Anzeiger, Nr. 1, Sitzg. d. math.-nat. Kl., 12. Jan. 1928; „Dimensionstheorie”, Leipzig, Teubner 1928, S. 287–303. Ein vollständiger und allgemein gültiger Beweis des Satzes ist jedoch erst von Nöbeling, Math. Annalen104 (1930), S. 71 und Pontrjagin, Math. Annalen105 (1931), S. 754, erbracht worden.

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  55. Übrigens ist bekanntlich Δ(M)= dimM (Einbettungssatz von Hurewicz).

  56. R x ist dabei irgendein Euklidischer Raum, in den sichF′ topologisch einbetten läßt.

  57. .

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  58. Zusatz bei der Korrektur.Das Korollar IIgilt ohne jede Voraussetzung über die Dimension von F, denn eine höchstensn−2-dimensionaleF kann weder denR n zerlegen, noch auf dieS n−1 wesentlich abgebildet werden, während einen-dimensionale abgeschlossene Menge, die denR n zerlegt bzw. nicht zerlegt, in einen−1-dimensionale Menge von der gleichen Eigenschaft deformiert werden kann (vgl. „Gestalt und Lage”, Kap. III, Nr. 10).

  59. Hopf, Math. Annalen104 (1931), S. 637.

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  60. Vgl. Nr. 39 und auch “Dimensionsproblem” Fußnote. In diesem Zusammenhange hat Herr Pontrjagin neuredings folgenden Satz bewiesen, den man als den 3. Konvergenzsatz bezeichnen könnte:Es sei Z=(z 1,z 2, ...,z k , ...)ein Zyklus modulo Null, welcher in F nicht homolog Null ist. Dann gibt es einen kohvergenten Zyklus Z′=(z 1 ,z 2 , ...,z k ...),dessen Elemente (endliche) Linearkombinationen der z k sind und welcher in F (total) unhomolog Null ist.

  61. Unter einers-Komponente des Punktesx in der MengeF verstehen wir nach Hausdorff die Gesamtheit aller Punkte vonF, die sich in der MengeF durch ε-Ketten mit dem Punktex verbinden lassen. Bei jedem ε zerfälltF in endlich viele disjunkte ε-Komponenten.

  62. Die algebraische Summe aller Koeffizienten, die bei einem nulldimensionalen algebraischen Komplex auftreten, wird gelegentlich auch als die algebraische Anzahl seiner Punkte bezeichnet. Bekanntlich kann ein nulldimensionaler Zyklus nur dann beranden, wenn die algebraische Anzahl seiner Punkte Null ist (Beweis: mühelos, durch Induktion nach der Anzahl der eindimensionalen Simplexe im berandeten Komplex).

  63. Hier wird die induktive Form der Brouwerschen Dimensionsdefinition benutzt.

  64. Auch die folgendermaßen definierten Mengenfunktionen sind Dimensionsfunktionen: Wenn dimFk ist, so seid k (F)=dimF; wenn dimFk+1 ist, setze mand k (F)=dimF oderd k (F)=k, je nachdemF ein eindimensionales Element enthält oder nicht. Dabei istk irgendeine nichtnegative ganze Zahl. Es sei nebenbei bemerkt, daß man zu keinen Dimensionsfunktionen gelangen würde, wenn man in der obigen Definition anstatt eindimensionaler Elemente Elemente höherer Dimension betrachten wollte.

  65. Es handelt sich also um eine Charakterisierung aller MengenF, die folgende Eigenschaft haben: Es gibt zu der MengeF einn-dimensionales ElementE n (gelegen in irgendeinemR *) derart, daß man bei jedem ε das ElementE * in eine Menge ε-überführen kann, welche zuF homöomorph ist. Es wäre auch interesant zu wissen, ob man dieselbe Mengenklasse bekommt, wenn man unter den ElementenE n nurn-dimensionale Würfel zuläßt.

  66. Vgl. z. B. Veblen, Analysis Situs, 2d edition, p. 96–97.

  67. Zu dieser und zur folgenden Fragestellung bin ich von Herrn A. Kolmogoroff angeregt worden.

  68. Es sollte untersucht werden, ob die auf diese Weise definierten dimensionstheoretisch vollwertigen Mengen einen Ring bilden und in welchen Beziehungen zie zu der im Problem XII definierten Mengenklasse stehen.

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Der Inhalt dieser Arbeit bildete den Gegenstand einer Vorlesung, die ich im Sommer 1930 an der Universität Göttingen gehalten habe; ihre wesentlichen Resultate sind in zwei Comptes-Rendus-Noten “Sur la théorie de la dimension” und “Analyse géométrique de la dimension des ensembles fermés” (C. R.190, S. 1102–1105 u.191, S. 475–477, beides 1930) kurz zusammengefaßt.

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Alexandroff, P. Dimensionstheorie. Math. Ann. 106, 161–238 (1932). https://doi.org/10.1007/BF01455884

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