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References
Hentzelt, Kurt: Zur Theorie der Polynomideale und Resultanten. Bearbeitet von E. Noether, Math. Ann.88 (1922), S. 53–79, zitiert H.-N.
Noether, E.: Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Ann.83 (1921), S. 24–66; zitiert Idealtheorie.
Steinitz, E.: Algebraische Theorie der Korper, J. f. M.137 (1910), S. 167–309; zitiert Steinitz.
Dieses Parallelgehen der Eliminationstheorie mit der allgemeinen Idealtheorie ist bei der Kroneckerschen Eliminationstheorie nicht erfüllt; vgl. dazu H.-N., Anm.4).
Die Transformation ist im Hinblick auf § 3 usw. etwas allgemeiner als bei H.-N., wodurch alle dortigen Resultate um so mehr erhalten bleiben.
Bei H.-N. wird nur die Bezeichnung Resultantenform gebraucht; die Bezeichnung Norm entspricht den arithmetischen Eigenschaften.
Die Definition von Primfunktion und Primärfunktion ließe sich auch in genauer Analogie mit 11. fassen, indem man nur das-Wort Ideal durch Polynom ersetzt. Die größten primären Faktoren sind das Analogon zu den größten primären Komponenten der Zerlegung in 12.
Vgl. H.-N., S. 63 und Anm.13).
Als höchsten Elementarteiler der Ideale in algebraischen Zahlkörpern hat man die kleinste durch das Ideal teilbare ganze rationale Zahl aufzufassen, also insbesondere die durch ein Primideal teilbare Primzahl oder die durch ein Primärideal
Steinitz, § 3. Die Annahmeeines von Null verschiedenen Elementes im ursprünglichen Integritätsbereich genügt, da dann die Existenz der Einheit durch Quotientenbildung gesichert ist, und somit der ursprüngliche Bereich ein Teilbereich des Körpers wird; Steinitz setzt Existenz der Einheit im Integritätsbereich voraus.
Steinitz, § 6.
Vgl. H.-N., § 7.
Es handelt sich bei Erweiterungen erster Art, also insbesondere bei vollkommenen Körpern, um die erste Potenz; bei unvollkommenen Körpern aber um diep g-te Potenz, wie in § 6, Satz XIII und XIV, gezeigt werden wird.
Vgl. H.-N., letzter Absatz von § 7.
Diese Kettendefinition der Dimension ergibt im Fall des algebraischen Zahlkörpers die Dimension Null für die gewöhnlichen Primideale, die Dimension-1 für das Einheitsideal und die Dimension 1 für das Nullideal; tatsächlich genügt ja auch letzteres der Definition der Primideale-im Körper ist ein Produkt von nicht verschwindenden Größen stets von Null verschieden. Satz II bleibt bei dieser Definition der Dimension im algebraischen Zahlkörper erhalten.
Aus Satz VIII ergibt sich wieder unter Beachtung von Hilfssatz II, daß die Grundideale-als kleinste gemeinsame Vielfache von transformierten Idealen-transformierte Ideale werden. Da Satz VIII nur auf Sätzen aus H.-N. beruht, wo diese Tatsache nicht benutzt wird, so ergibt sich damit ein neuer Beweis, der zugleich den inneren Grund aufdeckt. Der Satz wird bei H.-N. nur bei der Theorie der Nullstellen verwendet, die ja hier neu entwickelt ist.
Vgl. hierzu die parallel laufenden Überlegungen bei A. Ostrowski, Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Größen, Gött. Nachr. 1919, S. 279–298; insbesondere S. 288, wo der entsprechende Satz ohne Beweis ausgesprochen ist.
Ein algebraisch abgeschlossener Körper ist bekanntlich ein solcher, in dem jedes Polynomeiner Unbestimmten in Linearfaktoren zerfällt. Existenz und wesentliche Eindeutigkeit des zu einem beliebigen Körper gehörenden algebraisch abgeschlossenen Körpers bei Steinitz.
A. Ostrowski: a. a. O. (Anm.21)); Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Größen, Gött. Nachr. 1919, S. 279–298; Hilfssatz S. 296.-Einfacherer Beweis bei E. Noether, Ein algebraisches Kriterium für absolute Irreduzibilität, Math. Ann.85 (1922), S. 26–33, Nr. 7.
Vgl. dazu H.-N. § 4.
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Noether, E. Eliminationstheorie und allgemeine Idealtheorie. Math. Ann. 90, 229–261 (1923). https://doi.org/10.1007/BF01455443
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