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References
Diese letzteren Resultate zeigen ihre eigentliche Bedeutung, wenn man die Zerlegung der Ideale in primäre heranzieht; die einem primären Ideal entsprechende Multiplizität ist dann definiert als Anzahl der linear unabhängigen Restklassen des Komplements nach diesem Ideal; darauf soll an anderer Stelle eingegangen werden. (E. N.)
Vgl. Macaulay, The algebraic theory of modular systems, Cambridge Tracts 19 (Cambridge University Press, 1916); Nr. 67; auch Lasker, Zur Theorie der Moduln und Ideale, Math. Ann. 60 (1905), S. 20–116; S. 98. Daß in diesem Fall Resultante und Resultantenform übereinstimmt, ist in den unter1) erwähnten, noch nicht veröffentlichten Sätzen von Hentzelt gezeigt. (E. N.)
Der versuchte Beweis bei König, Algebraische Größen (Leipzig 1903, Teubner), V, § 4—für die Kroneckersche Eliminationstheorie—ist bekanntlich nicht gelungen. Daß auch bei den von König in die Kroneckersche Eliminationstheorie eingeführten Multiplizitäten der zweite Teil des Hentzeltschen Hauptsatzes nicht gilt, zeigt Macaulay a. a. O. S. 28, wo weiter gezeigt wird, daß die Kroneckersche Eliminationstheorie nicht der Zerlegung in primäre Ideale entspricht. (E. N.)
Vgl. Steinitz, Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern IL Math. Ann72 (1912), S. 297–345, Nr. 36. Hentzelt scheint aber jedenfalls unabhindig. von mit dem sich auch sonst Berührpunkte finden, für seinen einf Fall zu dem Begriff, in der Fassung von Formel (4), gekommen zu sein.
Bei Dedekind handelt es sich um Zahlenmoduln, für die auch eineMultiplikation definiert ist, eo daß der Dedekindsche Quotient nicht mit dem hier definierten Quotienten übereinstimmt. (E. N.)
Die begrifflich sich ergebende Bezeichnung “Ideal” anstatt des früher allgemein üblichen “Modul” oder “Formenmodul” erweist sich hier schon zur Unterscheidung von den Moduln aus Linearformen als notwendig. (E. N.)
Satz VI wird erst in § 7 benützt.
Dedekind: Über einen arithmetischen Satz von Gauß, Mitt. d. deutsch, math. Ges. zu Prag 1892. F. Mertens: Über einen algebraischen Satz, Ber. d. Ak. d. Wissensch. Wien101, (1892), S. 1560–1566. — Die Kroneckersche Erweiterung des Gaußschen Satzes auf Polynome mit unbestimmten Koeffizienten ist eine unmittelbare Folgerung dieses Satzes.
Es ist das im Prinzip derselbe Schluß, auf dem die Isomorphie von\(\mathfrak{G}_{i - 1}^* \left| {\mathfrak{W}_{i - 1}^* mit \mathfrak{G}_{i - 1} } \right|\mathfrak{W}_{i - 1} \) beruhte.
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Kurt Hentzelt int seit Oktober 1914 vor Dixmuiden vermißt und muß zu den Toten gezählt werden. Die hier gegebene Abhandlung ist eine vollständig freie Bearbeitung des wesentlichsten Teiles seiner Dissertation “Zur Theorie der Formenmoduln und Resultanten”, mit der or im Sommer 1914 bei E. Fischer in Erlangen promovierte. Diese ganz auf Grund eigener Ideen verfaßte Dissertation ist lückenlos aufgebaut; aber Hilfssetz reiht sich an Hilfssatz, alle Begriffe sind durch Formeln mit vier und fünf Indizes umschrieben, der Text fehlt fast vollständig, so daß dem Verständnis die größten Schwierigkeiten bereitet werden. Zu der geplanten Umarbeitung ist er selbet nicht mehr gekommen. Ich gebe die Arbeit in rein begrifflicher Fassung wieder, wodurch eine große Vereinfachung der durchweg in den Grundgedanken auf Hentzelt zurückgehen den Beweise erzielt wird, und, wie ich hoffe, die Schönheit der Arbeit offenbar wir Die Teile der Dissertation, die sich—bei gegebener Basis—auf die Fr Bildung der auftretenden Funktionen durch endlich viele Schritte beiziehen einer gesonderten Veröffentlichung vorbehalten bleiben.
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Hentzelt, K., Noether, E. Zur Theorie der Polynomideale und Resultanten. Math. Ann. 88, 53–79 (1922). https://doi.org/10.1007/BF01448441
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