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References
A. Ostrowski, Über quasianalytische Funktionen und Bestimmtheit asymptotischer Entwicklungen. Acta Math.53, (1929), Satz C, S. 255, der dort als Hilfssatz zum Beweise eines anderen Satzes (Satz B) aufgestellt wird. Der Satz besagt, daß ein in |z|<1 reguläres Potential P (z) mit670-1 durch das Poissonsche Integral mit den für fast alle670-2 existierenden Randwerten als Belegung dargestellt werden kann, falls die Menge der „Unbeschränktheitspunkte” von P(z) am Rande höchstens abzählbar ist und670-3 für jedes670-4. Man könnte den Beweis von II und Hilfssatz 3 auch mit Hilfe dieses Satzes führen. Wir geben aber einen direkten Beweis, der außerdem keine Hilfsmittel aus der Theorie der reellen Funktionen verwendet. Vgl. ferner den Schluß von § 3.
Dieser Satz ist ein Analogon zu einem Satze von F. und R. Nevanlinna (Über die Eigenschaften analytischer Funktionen in der Umgebung einer singulären Stelle oder Linie, Acta soc. scient. Fenicae50 (1922), 5, S. 17), mit Hilfe dessen dort der Satz von Phragmén und Lindelöf auf eine neue Art hergeleitet wird. Unser Satz geht aber nicht aus jenem durch konforme Abbildung der rechten Halbebene auf den Einheitskreis hervor, und umgekehrt.
Vgl. A. Ostrowski, Über die Bedeutung der Jensenschen Formel für einige Fragen der komplexen Funktionentheorie, Acta Szeged (1922), S. 80–87, l. c.3), Satz D, S. 255 f. und im Beweis von Satz D, S. 257 u., ferner Evans, Log. Potential, New York, S. 46, 47 (Lemma), A. Plessner, Zur Theorie der konjugierten trigonometrischen Reihen, Diss. Gießen, 1923. Für positive Potentiale wurde die Darstellbarkeit früher von G. Herglotz und F. Riesz bewiesen.
Daß der Satz C diese Formulierung enthält, ist klar. Für die Umkehrung braucht man die Darstellbarkeit vonP (z) durch ein Stieltjes-Poissonsches Integral [vgl.12)]: Schreibt man nämlich 678-1 wo μ (ϑ)=t (ϑ)+Z (ϑ) von beschränkter Schwankung,t (ϑ) der totalstetige, χ (ϑ) der „singuläre” Bestandteil von μ (ϑ) ist, so genügtP * (z) den Voraussetzungen der obigen Formulierung [, S. 259], und aus dieser fo'gtP * (z)≡0.
l. c., S. 255, Fußnote 53.
Siehe z. B. l. c., S. 261.
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Math. Zeitschr.35, S. 321–456.
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Warschawski, S. Bemerkung zu meiner Arbeit: Über das Randverhalten der Ableitung der Abbildungsfunktion bei konformer Abbildung. Math Z 38, 669–683 (1934). https://doi.org/10.1007/BF01170662
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01170662