Classes of order 4 in the strict class group of number fields and remarks on unramified quadratic extensions of unit type

Abstract

Let K be a number field of degree n over $\mathbb {Q}$. Then the 4-rank of the strict class group of K is at least $\text {rank}_2 \, ( E_{K}^{+} / E_K^2) - \lfloor n /2 \rfloor$ where $E_K$ and $E_{K}^{+}$ denote the units and the totally positive units of K, respectively, and $\text {rank}_2$ is the dimension as an elementary abelian 2-group. In particular, the strict class group of a totally real field K with a totally positive system of fundamental units contains at least $(n-1)/2$ (n odd) or $n/2 -1$ (n even) independent elements of order 4. We also investigate when units in K are sums of two squares in K or are squares mod 4 in K.

Résumé

Soit K un corps de nombres de degré n sur $\mathbb {Q}$. Alors le 4-rang du groupe de classes au sens strict de K est au moins $\text {rang}_2 ( E_{K}^{+} / E_K^2) - \lfloor n /2 \rfloor$ où $E_K$ et $E_{K}^{+}$ désignent respectivement le groupe des unités et le groupe des unités totalement positives de K, et où $\text {rang}_2$ est la dimension en tant que 2-groupe abélien élémentaire. En particulier, le groupe des classes au sens strict d’un corps K totalement réel avec un système fondamental d’unités totalement positives contient au moins $(n-1)/2$ pour n impair (respectivement $n/2 -1$ pour n pair) éléments indépendants d’ordre 4. Nous examinons aussi quand les unités de K sont des sommes de deux carrés de K ou sont des carrés mod 4 de K.